Параллельное и скрещенное силовые поля на фоне магнитного поля.: Семинар 7

Задача 4

Условие

В некоторой области пространства созданы «скрещенные» однородные электростатическое и постоянное магнитное поле ( \vec{E} \perp \vec{B} , других силовых полей нет). Электрон, влетевший в эту область со скоростью v = 6000 м/с , продолжил в ней движение равномерно прямолинейно. Другой электрон, начальная скорость которого была такой же по величине, но была направлена под углом \alpha = 120^\circ к скорости первого ( \vec{v}_2 направлена в одной плоскости с \vec{v}_1 ), так же двигался в этой области равномерно и прямолинейно. Найти величину отношения \frac{E}{B} = ?

image.png

Решение

Так как электроны движутся равномерно-прямолинейно, то сумма приложенных к ним сил равна нулю, то есть сила Лоренца в точности уравновешивает силу, действующую со стороны электрического поля: \vec{F}_{L} + q \vec{E} = 0 \Rightarrow [\vec{v_1} \times \vec{B}]=[\vec{v_2} \times \vec{B}] = -\vec{E}. Следовательно, поперечные (перпендикулярные \vec{B} ) компоненты скоростей должны совпадать. Это возможно, только если \vec{E} направлено перпендикулярно плоскости, в которой двигались электроны, а \vec{B} лежит в этой плоскости и перпендикулярна биссектрисе угла, образованного \vec{v}_1 и \vec{v}_2 . Тогда |[\vec{v}_1 \times \vec{B}]| = |[\vec{v}_2 \times \vec{B}]| = v B \sin\left(\frac{180^\circ - \alpha}{2}\right) = v B \cos(\alpha/2) . Таким образом, напряженность электрического поля должна удовлетворять соотношению v B \cos(\alpha/2) = E \Rightarrow \frac{E}{B} = v \cos(\alpha/2) = 3000 м/с .

Ответ \frac{E}{B} = v \cos(\alpha/2) = 3000 м/с .

Задача 5

Условие

Небольшой шарик с удельным зарядом z = \frac{q}{m} = 10 Кл/кг запускают в полет в большой камере, заполненной воздухом, под углом \alpha = \arcsin(0,6) \approx 36,87^\circ с горизонтом. В этой камере, помимо однородного поля тяжести с g \approx 10 м/с^2 , созданы горизонтальное электрическое поле с напряженностью E = 10 В/м и горизонтальное магнитное поле с индукцией B , причем \vec{E} и \vec{B} взаимно перпендикулярны. Действующая на шарик сила сопротивления воздуха линейна по скорости – ее можно описать выражением \vec{F}_c = -\beta m \vec{v} , где m – масса шарика, а \beta – некоторый коэффициент. Оказалось, что при величине начальной скорости шарик движется равномерно и прямолинейно. Найдите величину коэффициента и \beta магнитной индукции B .

Решение

image.png

На шарик действуют четыре силы: сила тяжести, электрическая сила, сила Лоренца и сила сопротивления воздуха. Так как шарик движется с постоянной скоростью, то сумма этих сил равна нулю: m\vec{g} + q\vec{E} + \vec{F}_{Л} + \vec{F}_c = 0 . Сила тяжести направлена вертикально вниз. Пусть плоскость xy – вертикальная плоскость, в которой лежит вектор скорости шарика. Направим ось x по этому вектору (то есть под углом \alpha к горизонту). Сила Лоренца \vec{F}_{Л} всегда перпендикулярна скорости (ее направление мы выберем направлением оси y ), а сила сопротивления воздуха – против скорости. Так как сила Лоренца должна уравновешивать перпендикулярную ( y ) скорости компоненту равнодействующей силы тяжести и силы со стороны электрического поля, а сила сопротивления должна компенсироваться продольной ( x ) по отношению к скорости составляющей этой равнодействующей, то вектор \vec{E} тоже должен лежать в плоскости xy , и направления наших четырех сил должны быть такими, как это показано на рисунке. Теперь запишем условие баланса сил в проекциях на координатные оси, используя выражения для силы Лоренца и заданное в условии выражение для силы сопротивления: \left\{\begin{aligned}

q v B &= q E \sin(\alpha) + mg \cos(\alpha) \\

\beta m g v &= q E \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)

\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\left\{\begin{aligned}

B &= \frac{3 z E + 4g}{5 z v} \approx 0,136 Тл \\

\beta &= \frac{5 z E - 3g}{5 v} \approx 0,148 с^{-1}

\end{aligned}\right. Здесь в вычислениях мы учли, что для острого угла \sin(\alpha) = \frac{3}{5} соответствует \cos(\alpha) = \frac{4}{5} .

Ответ B = \frac{3 z E + 4g}{5 z v} \approx 0,136 Тл, \quad \beta = \frac{5 z E - 3g}{5 v} \approx 0,148 с^{-1} .