Параллельное и скрещенное силовые поля на фоне магнитного поля.: Семинар 7

Задача 6

Условие

Небольшой шарик с зарядом q > 0 и массой m отпускают без начальной скорости на высоте h = 3 м над плоским горизонтальным участком поверхности Земли в области, в которой создано однородное магнитное поле с индукцией B . Линии индукции поля горизонтальны. На какое расстояние удалится шарик от исходного положения за время t = \frac{3 \pi m}{4 q B} ? Сопротивлением воздуха пренебречь. Известно, что удельный заряд шарика удовлетворяет условию \frac{qB}{m} = 2 \sqrt{\frac{g}{h}} .

Решение

image.png

Направим оси координат, как показано на рисунке. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения шарика весьма сложно: это m\vec{a} = q[\vec{v} \times \vec{B}] + m\vec{g} . Можно постараться его упростить, выбрав более удобную систему отсчета – «дрейфующую». Эта система отсчета движется относительно исходной со скоростью дрейфа в скрещенных полях (в данном случае это скорость \vec{v}_D , удовлетворяющая требованию q[\vec{v}_D \times \vec{B}] + m\vec{g} = 0 ). Она равна по модулю v_D = \frac{mg}{qB} , направлена горизонтально перпендикулярно \vec{B} (на рисунке «вправо»), и в такой системе отсчета ускорение шарика равно ускорению относительно земли ( \vec{a}' = \vec{a} ), а скорости связаны равенством \vec{v} = \vec{v}_D + \vec{v}' . Поэтому уравнение движения в ней принимает вид m\vec{a}' = q[\vec{v}' \times \vec{B}] + q[\vec{v}_D \times \vec{B}] + \vec{F} = q[\vec{v}' \times \vec{B}], то есть становится уравнением движения в одном только магнитном поле – поле тяжести «исчезает»! В результате в ней движение шарика сводится к «чистому» ларморовскому вращению шарика только в магнитном поле, при начальной скорости \vec{v}'_0 = - \vec{v}_D . Радиус ларморовской окружности R = \frac{m v_D}{qB} = g \frac{m^2}{q^2 B^2} , угловая скорость \omega = \frac{qB}{m} . У нас h > 2R , и поэтому шарик не заденет Землю, и траекторией его движения будет циклоида – кривая, которую описывает точка на ободе катящегося без проскальзывания колеса радиуса R . В самом деле, закон движения (ларморовского вращения) в «дрейфующей» системе отсчета \left\{\begin{aligned}

x'(t) &= - R \sin(\omega t) = - \frac{m^2 g}{q^2 B^2} \sin\left(\frac{q B t}{m}\right) \\

y'(t) &= h - R + R \cos(\omega t) = h - \frac{m^2 g}{q^2 B^2} + \frac{m^2 g}{q^2 B^2} \cos\left(\frac{q B t}{m}\right)

\end{aligned}\right. А в системе отсчета, связанной с Землей: \left\{\begin{aligned}

x(t) &= x'(t) + v_D t = v_D t - R \sin(\omega t) = \frac{m^2 g}{q^2 B^2} \frac{q B t}{m} - \sin\left(\frac{q B t}{m}\right) \\

y(t) &= y'(t) = h - \frac{m^2 g}{q^2 B^2} \left[1 - \cos\left(\frac{q B t}{m}\right)\right]

\end{aligned}\right. Таким образом, удаление от начальной точки r(t) = \sqrt{x^2(t) + (h - y(t))^2} = \frac{m^2 g}{q^2 B^2} \sqrt{\left(\frac{q B t}{m}\right)^2 - 2 \frac{q B t}{m} \sin\left(\frac{q B t}{m}\right) - 2 \cos\left(\frac{q B t}{m}\right) + 2}. Подставляя заданные в условии соотношения для времени и удельного заряда, получаем: r(t) = \frac{h}{4} \sqrt{\left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 + 2 } \approx 206 см.

Ответ 206 см.

Задача 7

Условие

Ионная пушка выстреливает ионы в направлении экрана (перпендикулярно ему) каждый раз с одной и той же начальной скоростью v_0 = 1,45 км/с . Удельный заряд иона \frac{q}{m} = +2,618 \cdot 10^6 Кл/кг , в области его движения, в вакууме, создано однородное магнитное поле с индукцией B = 0,2 Тл . Полет каждого иона до экрана занимал время t_0 = 2 мкс . Затем в области движения ионов создали однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно векторам индукции и начальной скорости. После этого время движения иона до экрана уменьшилось в два раза. Найдите напряженность созданного электрического поля.

image.png

Решение

image.png

До включения электрического поля ионы двигались с угловой скоростью \omega = \frac{qB}{m} по окружности радиуса R_0 = \frac{m v_0}{qB} = \frac{v_0}{\omega} . Пусть L – расстояние от точки старта ионов до экрана. Тогда из геометрии (см. рисунок, красный пунктир), с учетом того, что угол поворота иона за время движения \varphi_0 = \omega t_0 , находим, что L = R_0 \sin(\varphi_0) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t_0) . После включения электрического поля уравнение движения иона принимает вид m\vec{a} = q\vec{E} + q[\vec{v}' \times \vec{B}] . Удобно перейти в «дрейфующую» Систему Отсчета, которая движется относительно исходной с постоянной скоростью u = \frac{E}{B} , совпадающей по направлению с \vec{v}_0 . В этой СО \vec{a}' = \vec{a} и \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} , то есть уравнение движения принимает вид m\vec{a}' = q\vec{E} + q[\vec{u} \times \vec{B}] + q[\vec{v}' \times \vec{B}] = q[\vec{v}' \times \vec{B}], то есть совпадает с уравнение движения иона только в магнитном поле, равном прежнему! Значит, ион в этой СО летит с прежней угловой скоростью \omega = \frac{qB}{m} по новой окружности, а экран «гонится» за ним со скоростью u . Введем обозначение Z = \frac{u}{v_0} (учитывая, что время движения иона изменилось заметно, мы далее предполагаем, что Z > 1 ; отметим, что наши формулы будут справедливы и при Z \le 1 ). Тогда стартовая скорость иона v'_0 = u - v_0 = (Z - 1)v_0 , и радиус новой окружности R = \frac{m v'_0}{qB} = (Z - 1) \frac{v_0}{\omega} . Поэтому новая формула для L – это L = ut - R \sin(\omega t) = Z v_0 t - (Z - 1) \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) (см. рисунок, красные линии). Приравнивая оба выражения для L («старое» и «новое»), получаем уравнение Z v_0 t - (Z - 1) \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t_0) \Rightarrow Z = \frac{\sin(\omega t_0) - \sin(\omega t)}{\omega t - \sin(\omega t)}. Подставляя числовые значения с учетом \omega = \frac{qB}{m} \approx 0,5236 \cdot 10^6 c^{-1} , находим Z \approx 15,51 (как видно, Z > 1 и наше предположение оправдалось; можно обратить внимание, что с высокой точностью \omega t_0 \approx \frac{\pi}{3} и \omega t \approx \frac{\pi}{6} , что упрощает расчеты). Следовательно, E = u B = Z v_0 B \approx 4498 В/м .

Ответ E = \frac{\sin(\omega t_0) - \sin(\omega t)}{\omega t - \sin(\omega t)} v_0 B \approx 4498 В/м . «Зачетный» диапазон ( 4500 \pm 50 ) В/м.