Магнитное поле в магнетиках. Действие поля на магнетики.: Семинар 6

Пример 4

Условие

Длинный и тонкий вертикальный соленоид, провод которого намотан на тонкостенную цилиндрическую немагнитную трубку с постоянной плотностью намотки n , одним торцом чуть-чуть погружен в парамагнитную жидкость, покоящуюся в очень большом резервуаре. В обмотке соленоида создали ток, плавно увеличивая его силу до величины I . Найдите высоту подъема жидкости h в равновесном состоянии. Плотность жидкости равна \rho , магнитная проницаемость \mu = 1,2 , ускорение свободного падения g , магнитная постоянная \mu_0 . Жидкость не достигает верхнего торца соленоида.

Решение

При подъеме жидкости соленоид можно рассматривать как последовательное соединение двух катушек индуктивности – нижней (с «сердечником» из жидкости) и верхней (без магнитного сердечника). Тогда ясно, что индукция поля в нижней катушке B_d = \mu_0 \mu n I , а в верхней B_u = \mu_0 n I . Разность плотностей энергии магнитного поля можно рассматривать как давление магнитных сил на поверхность столбика жидкости: p_B = \frac{B_d^2}{2\mu_0 \mu} - \frac{B_u^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0}{2}(\mu - 1) n^2 I^2. В состоянии равновесия давление в жидкости вблизи нижнего торца соленоида должно равняться давлению на поверхность жидкости p_0 , так что p_0 = p_0 + \rho g h - p_B \Rightarrow h = \frac{p_B}{\rho g} = \frac{\mu_0 (\mu - 1) n^2 I^2}{2 \rho g} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{10 \rho g} .

Ответ h = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{10 \rho g} .

Здесь важно понимать, что за внешне простым решением, которое мы записали для этой задачи, скрывается необходимость правильного понимания ситуации. Например, может показаться, что мы нарушили требование сохранения потока магнитного поля: B_d = \mu B_u > B_u , и в нижней части соленоида поток больше, чем в верхней. На самом деле часть потока из нижней части не переходит в верхнюю, а «вытекает» через боковую поверхность соленоида вблизи поверхности жидкости. Это станет понятно, если мы вспомним структуру поля тонкого соленоида. Использованные нами выражения дают величину индукции B_{in} внутри соленоида, где вектор индукции параллелен оси соленоида, а при подходе к его торцу на расстояние порядка радиуса соленоида поле изменяется: появляется «радиальная» компонента, а «осевая» компонента уменьшается (например, в центре торца соленоида, поле равно B_{in}/2 ). Поэтому вблизи поверхности жидкости, в области длиной порядка радиуса соленоида, индукция поля не равна B_d = \mu_0 \mu n I или B_u = \mu_0 n I , а изменяется от одного значения до другого, причем действительно появляется не равная нулю «радиальная» компонента индукции, создающая вытекающий из соленоида поток. Однако, поскольку наш соленоид «тонкий», объем этой переходной области пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом соленоида, и также пренебрежимо мал вклад ее в энергию системы.

Пример 5

Условие

Якорный электромагнит состоит из двух половин ферромагнитного тора с радиусом средней линии a и постоянной площадью поперечного сечения S . Магнитная проницаемость материала тора \mu \gg 1 . На верхней половине намотана обмотка из N витков провода, в котором в рабочем режиме источник поддерживает постоянный ток с силой I . При этом половинки плотно прижаты друг к другу соответствующими сечениями (см. рисунок). Найдите силу притяжения половинок электромагнита.

image.png

Решение

Прямое вычисление силы взаимодействия двух намагниченных ферромагнитных тел сложной формы значительно выходит за рамки школьной программы. Однако нам может помочь в решении этой задачи энергетический подход. В самом деле, рассмотрим ситуацию, когда некая внешняя сила медленно сдвинет нижнюю половину от закрепленной верхней на очень малое расстояние x , как показано на рисунке. Для такого сдвига она должна быть равна искомой силе притяжения половинок F (силу тяжести не учитываем), и она совершит малую работу \Delta A = F \cdot x . Эта работа пойдет на увеличение энергии системы «электромагнит + источник», причем энергия электромагнита – это энергия созданного им магнитного поля, которую мы умеем вычислять через силу I тока, текущего по обмотке, и индуктивности обмотки L : это E_B = \frac{L I^2}{2} . Как мы должны принимать, при небольшом раздвижении половинок тора индуктивность обмотки изменится, и при неизменной силе тока, как видно из этой формулы, будет изменяться и энергия магнитного поля: \Delta E_B = \frac{(\Delta L) \cdot I^2}{2} . Значит, можно найти силу по изменению магнитной энергии.

В этом месте нам нужно сделать отступление, связанное с последующими темами школьного курса физики: *Для дальнейшего нам понадобится некоторая информация, которая может быть получена при выходе за рамки приближения магнитостатики. Дело в том, что на самом деле в энергетическом балансе системы требуется учесть и изменение энергии источника, который участвует в поддержании постоянства силы тока, несмотря на то, что в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея (который изучается после изучения раздела «магнитостатика») изменение магнитного потока через контур приводит появлению в нем дополнительной электродвижущей силы, называемой «ЭДС индукции», и она пропорциональна скорости изменения магнитного потока: \mathcal{E}_{инд} = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d(LI)}{dt} . У нас сила тока не меняется ( d(LI) = I \cdot dL ), и источник должен для этого создать дополнительную ЭДС -\mathcal{E}_{инд} , совершающую работу над контуром dA_{ист} = -\mathcal{E}_{инд} \cdot I \cdot dt = I^2 dL с изменением внутренней энергии источника на dE_{ист} = -dA_{ист} = -I^2 dL . Таким образом, полное изменение энергии системы «электромагнит + источник» при раздвижении половинок за счет работы внешней силы: F \cdot x = dE_{ист} + dE_B = -I^2 dL + \frac{(dL) \cdot I^2}{2} = -\frac{(dL) \cdot I^2}{2} \Rightarrow F = -\frac{I^2}{2} \frac{dL}{x} .

Как видно, работа внешней силы на самом деле противоположна изменению самой магнитной энергии, но, поскольку при постоянном токе в подобных ситуациях изменение энергии источника всегда связано с магнитной энергией контура описанным образом, то (поскольку нам известно, что сила взаимодействия в данном случае – это сила притяжения) мы можем вычислять величину силы через модуль изменения магнитной энергии. Теперь мы можем завершить вычисление силы притяжения. Итак, ее величина F = \left|\frac{dE_B}{x}\right| = \frac{I^2}{2} \left|\frac{dL}{x}\right| . Изменение индуктивности обмотки считаем уже привычным нам образом: из закона полного тока для средней линии тора с небольшим расстоянием между половинами находим величину индукции внутри ферромагнетика: \frac{B}{\mu_0 \mu} \cdot 2\pi a + \frac{B}{\mu_0} \cdot 2x = N I \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \mu N I}{2(\pi a + \mu x)}, затем вычисляем магнитный поток через обмотку \Phi = NBS = \frac{\mu_0 \mu N^2 S}{2(\pi a + \mu x)} I , и находим индуктивность в зависимости от x : L(x) = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_0 \mu N^2 S}{2(\pi a + \mu x)} . Нам нужна величина силы при плотно прижатых половинах, то есть при x = 0 , поэтому изменение индуктивности считаем для «бесконечно малого» сдвига \left|\frac{dL}{x}\right|_{x \to 0} = \left|L'(0)\right| = \left| - \frac{\mu_0 \mu^2 N^2 S}{2(\pi a + \mu x)^2} \right|_{x=0} = \frac{\mu_0 \mu^2 N^2 S}{2\pi^2 a^2} \Rightarrow F = \frac{I^2}{2} \left|\frac{dL}{x}\right| = \frac{\mu_0 \mu^2 N^2 I^2 S}{4 \pi^2 a^2}.

Ответ F = \frac{\mu_0 \mu^2 N^2 I^2 S}{4 \pi^2 a^2} .

Отметим: мы обнаружили, что энергия самого электромагнита при раздвижении половинок уменьшается, но при этом источник совершает над его обмоткой отрицательную работу, и внешней силе приходится для раздвижения совершать положительную работу. Это естественно – если бы обмотка не была подключена к источнику, ничто не помешало бы нам легко раздвинуть половинки.

Пример 6

Условие

На прямолинейный ферромагнитный сердечник постоянного сечения из материала с очень большой магнитной проницаемостью \mu \gg 1 надеты две обмотки. Одна состоит из N витков из обычного проводника и подключена через разомкнутый ключ К к источнику постоянного напряжения с ЭДС \mathcal{E} . Полное сопротивление этой обмотки при разомкнутом ключе равно r . Вторая обмотка из 2N витков – сверхпроводящая, замкнута накоротко. Ключ замыкают. Найдите силу тока I' в сверхпроводящей обмотке после установления стационарного режима. Рассеянием магнитного потока в сердечнике пренебречь.

image.png

Решение

В системе, описанной в условии, одновременно присутствуют два необычных вида материалов: ферромагнетик с очень большой проницаемостью и сверхпроводник. Как мы знаем, такой ферромагнетик «не выпускает» из себя линии магнитной индукции, так что магнитный поток течет по нему практически без потерь. Сверхпроводник, напротив, вытесняет из себя магнитное поле (в этом состоит эффект Мейснера), то есть «не пускает» внутрь себя магнитный поток за счет возникновения на его поверхности индукционного тока. После установления стационарного режима в обмотках текут постоянные токи. При этом в «обычном» контуре наличие у обмотки индуктивности не влияет на силу тока, которая будет равна I = \frac{\mathcal{E}}{r} . Однако этот ток создает магнитное поле с ненулевым магнитным потоком, который будет течь по ферромагнитному сердечнику. Значит, он будет пронизывать сверхпроводящую обмотку, которая не позволит измениться магнитному потоку через себя. Поскольку изначально магнитный поток через нее был равен нулю, он останется нулевым и в стационарном режиме. Поэтому в этой обмотке возникнет электрический ток, магнитное поле которого своим потоком в точности сократит поток, создаваемый полем «обычной» обмотки. Таким образом, индукция магнитного поля в ферромагнитном сердечнике останется равной нулю за счет сокращения вкладов от обмоток. Закон полного тока для контура, проходящего по оси сердечника и замыкающегося через «очень удаленные» области, приводит к соотношению 0 = N \cdot I - 2N \cdot I' . Следовательно, I' = \frac{1}{2}I = \frac{\mathcal{E}}{2r} .

Ответ I' = \frac{\mathcal{E}}{2r} .