Магнитные цепи: МДС и магнитное сопротивление, анализ магнитных цепей.: Лекция 11

Пример 4: Тонкий сердечник квадратного сечения a \times a , где a = 3 см, имеет вид прямоугольника с перемычкой, причем поперечное сечение перемычки – прямоугольник a \times 2a . На «левой» ветви и перемычке «сонаправленные» (по направлениям создаваемых магнитных потоков) катушки с числом витков N_1 = 1500 и N_2 = 3000 , в которых текут токи I_1 = 6 А и I_2 = 3 А. В перемычке имеется воздушный зазор ширины h = 1/3 см. Магнитная проницаемость материала сердечника \mu = 82 , а стороны квадратов, образованных средними линиями участков сердечника l = 54 см (см. рисунок). Найти магнитную индукцию в зазоре, пренебрегая рассеянием магнитного потока.

Решение:

image.png

В отличии от предыдущих примеров, в этом у нас два источника магнитного потока. Для демонстрации методов анализа магнитных цепей будем записывать решение «в стиле» уравнений Кирхгофа. В этом случае условие непрерывности магнитного потока имеет вид \Phi_1 + \Phi_2 = \Phi , где индексы 1 и 2 относятся к участкам с катушками, а величины для ветви без катушки оставлены без индекса. С учетом соотношения площадей сечения ясно, что для величин индукции B_1 + 2 B_2 = B . Отметим также, что в модели, в которой мы пренебрегаем рассеянием магнитного потока (в том числе и в районе очень узкого зазора), в зазоре через практически такое же сечение протекает такой же магнитный поток, что и внутри перемычки сердечника, а это означает, что искомая величина магнитной индукции в зазоре равна B_2 . Запишем аналог правила Кирхгофа в форме «сумма произведений магнитного потока на магнитное сопротивление равно сумме МДС» для контура, проходящего по средней линии перемычки и левой ветви (по часовой стрелке), причем сопротивление сердечника с пропилом считаем как сумму сопротивлений его последовательно соединенных участков: B_1 S \frac{3l}{\mu_0 \mu S} - B_2 \cdot 2S \left[ \frac{l - h}{\mu_0 \mu \cdot 2S} + \frac{h}{\mu_0 \cdot 2S} \right] = N_1 I_1 - N_2 I_2 = 0\Rightarrow B_1 = \frac{1}{3} B_2 (1 + \delta). Здесь мы сразу (для ускорения вычислений) обратили внимание, что N_1 I_1 = N_2 I_2 , и обозначили \delta \equiv (\mu - 1) \frac{h}{l} = \frac{1}{2} . Следовательно, B_1 = \frac{1}{2} B_2 . Аналог правила Кирхгофа для контура, проходящего по средней линии перемычки и правой ветви (по часовой стрелке): B_2 S \left[ \frac{l - h}{\mu_0 \mu S} + \frac{h}{\mu_0 S} \right] + B S \frac{3l}{\mu_0 \mu S} = N_2 I_2 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \mu N_2 I_2}{3l} - \frac{1}{3} B_2 (1 + \delta) = \frac{\mu_0 \mu N_2 I_2}{3l} - \frac{1}{2} B_2. Подставив полученные соотношения в первое уравнение, находим искомую величину: \frac{1}{2} B_2 + 2 B_2 = \frac{\mu_0 \mu N_2 I_2}{3l} - \frac{1}{2} B_2 \Rightarrow B_2 = \frac{\mu_0 \mu N_2 I_2}{9l} \approx 0,19 Тл. Как видно, в уравнениях с потоками и магнитными сопротивлениями площади поперечных сечений часто сокращаются, и, разумеются, результаты не отличаются от тех, что мы получаем из закона полного тока.