Сложные задачи о движении частиц в магнитном поле.: Семинар 8

Задача 4

Условие

Во многих теориях физики элементарных частиц возможно существование частиц, имеющих и электрический, и магнитный заряд (их называют дионами). Пусть в поле массивного диона с электрическим зарядом Q > 0 и магнитным зарядом M > 0 движется заряженная частица с массой m и электрическим зарядом q . Напомним, что электрическая постоянная в законе Кулона \varepsilon_0 связана с магнитной постоянной соотношением \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2 , где c \approx 3 \cdot 10^8 м/с – скорость света в вакууме. Частицу запустили таким образом, что она движется в поле диона по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью v \ll c (излучение электромагнитных волн при такой скорости пренебрежимо мало). Опишите, записав все необходимые для этого геометрические характеристики, положение орбиты относительно диона.

Решение

Обратим внимание, что при движении заряженной частицы с массой m и электрическим зарядом q в поле неподвижного диона сохраняется сумма кинетической энергии частицы и потенциальной энергии ее взаимодействия с электрической компонентой поля диона: работа магнитной компоненты силы Лоренца \vec{F}_M = q[\vec{v} \times \vec{B}] равна нулю, а работа электрической компоненты \vec{F}_E = q\vec{E} может быть вычислена как разность значений потенциальной энергии U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{r} ( r – расстояние от диона до частицы). Итак, \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{r} = const . Поэтому при неизменной по модулю скорости и расстояние от диона до частицы должно быть неизменно. Это значит, что дион должен находиться на оси симметрии орбиты (проходящей через центр круга перпендикулярно к его плоскости – см. рисунок). Действующая на частицу сила \vec{F} = q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}] должна быть направлена по радиусу орбиты к ее центру.

image.png

Из этого ясно, что такое движение возможно только при qQ < 0 и в случае, когда перпендикулярные плоскости орбиты составляющие магнитной и электрической компонент силы Лоренца сокращаются: \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q}{r^2} \cos(\alpha) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{|q|M}{r^2} v \sin(\alpha) \Rightarrow tg(\alpha) = \frac{c^2 Q}{v M}. Уравнение для центростремительной компоненты ускорения позволяет найти r : m \frac{v^2}{r \sin(\alpha)} = |q| \left( \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \sin(\alpha) + \frac{\mu_0 M}{4\pi r^2} v \cos(\alpha) \right), \quad откуда r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q}{m v^2}. Интересно, что эта формула не содержит M – радиус круговой орбиты в поле диона совпадает с радиусом круговой орбиты в поле только его электрического заряда, но из-за наличия у диона магнитного заряда плоскость орбиты смещается так, что дион находится вне этой плоскости. Используя полученные геометрические характеристики, находим радиус орбиты R = r \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q^2 c^2}{m v^2 \sqrt{c^4 Q^2 + v^2 M^2}} и расстояние от ее плоскости до диона h = r \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q M v}{m v^2 \sqrt{c^4 Q^2 + v^2 M^2}}.

Ответ орбита радиусом R = r \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q^2 c^2}{m v^2 \sqrt{c^4 Q^2 + v^2 M^2}} находится в плоскости, находящейся от диона на расстоянии h = r \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|Q M v}{m v^2 \sqrt{c^4 Q^2 + v^2 M^2}} , причем дион находится на оси симметрии орбиты.