Разное с олимпиад

В задачах перечневых олимпиад тепловые процессы часто связаны с изменением объёма и плотности вещества.

Задача 1 (Задача олимпиады «Росатом», 2023 год, 9 -й класс, тема «Тепловые явления»)

Условие

На дно сосуда приклеили кусок льда при температуре \text{0°C} , сверху налили воды такой же массы, что и лёд. Вода полностью покрыла кусок льда, её высота составила \text{20 см} . После того, как установилось тепловое равновесие, уровень воды снизился на \text{0,5 см} . Необходимо определить, при какой температуре налили воду в этот сосуд?

Табличные данные: \rho_{\text{0}}\text{ = 1 г/}\text{см}^{\text{3}} ; \rho_{\text{1}}\text{ = 0,9 г/}\text{см}^{\text{3}} ; c\text{ = 4,2 кДж/кг} ; \lambda\text{ = 3,3 × }\text{10}^{\text{2}}\text{ кДж/кг} .

Решение

Начальная высота слоя льда и воды равна H\text{.} Лёд прикреплён ко дну и не всплывает. Температура воды — t_{0}\text{,} температура льда — 0{^\circ}C\text{.} Между ними устанавливается тепловое равновесие.

Начальные массы льда и воды одинаковы m_{\text{л}} = m_{\text{в}} = m . При плавлении масса сохраняется. Она равна произведению плотности и объёма \rho = mV , поэтому для растаявшей части льда выполняется равенство

\rho_{\text{л}}V_{\text{л}} = \rho_{\text{в}}V_{\text{в}}

Лёд изначально имеет нулевую температуру, поэтому предполагается, что первый процесс — его плавление. При переходе льда в воду меняется плотность. Плотность льда равна 0,9\text{ г}/\text{см}^{3}\text{,} а воды — 1\text{ г}/\text{см}^{3}\text{.} При плавлении масса сохраняется, плотность увеличивается, а объём уменьшается. Поэтому уровень воды в сосуде понижается на 0,5\text{ см} , как и говорится в условии задачи.

Сначала необходимо установить, растаял ли весь лёд, и определить конечное состояние системы.

Начальный полный объём равен сумме объёмов воды и льда

V = V_{\text{в}} + V_{\text{л}}

А также он равен произведению площади основания сосуда на высоту

V = SH

Массы воды и льда равны. Каждый объём выражается делением массы на соответствующую плотность:

SH = \frac{m}{\rho_{\text{в}}} + \frac{m}{\rho_{\text{л}}} = m\left( \frac{\rho_{\text{в}} + \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}} \right)

При полном таянии льда высота слоя воды стала бы H - \Delta h'\text{.} Сравнение расчётного понижения \Delta h' с заданным \Delta h позволит определить, осталась ли часть льда.

Если весь лёд растает, объём будет складываться из двух одинаковых по массе объёмов воды

V = 2V_{\text{в}}

При переходе льда в воду масса полностью сохраняется, поэтому

S(H - \Delta h') = \frac{2m}{\rho_{\text{в}}}

Найдём \Delta h' и сравним его с понижением \Delta h\text{,} указанным в условии. Систему из двух уравнений удобно решить делением первого уравнения на второе.

\frac{SH}{S(H - \Delta h')} = \frac{m(\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}})\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}\rho_{\text{в}}2m}

Неизвестная масса, площадь дна и один множитель плотности воды сокращаются

\frac{H}{H - \Delta h'} = \frac{\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}}}

В уравнении остаётся одна неизвестная

H - \Delta h' = H\frac{2\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}}}

Переносим величины и выносим H за скобку

\Delta h' = H\left( 1 - \frac{2\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}}} \right)\

Перед записью теплового баланса нужно установить конечное состояние системы.

Здесь нет ни одной величины, которую обязательно переводить в СИ, поэтому можно считать во внесистемных единицах. Подставляем H = 20\text{ см,} \rho_{\text{л}} = 0,9\text{ г}/\text{см}^{3} и \rho_{\text{в}} = 1\text{ г}/\text{см}^{3}\text{:}

\Delta h' = 20\left( 1 - \frac{2 \cdot 0,9}{1 + 0,9} \right)\text{=}20\left( 1 - \frac{1,8}{1,9} \right)

Отношение в скобках меньше единицы, поэтому понижение уровня получается положительным. Расчёт даёт

\Delta h' \approx 1,05\text{ см}

При полном таянии уровень понизился бы чуть больше чем на сантиметр, а по условию он понизился только на полсантиметра. Следовательно, лёд растаял не полностью. Отсюда следует, что конечная температура, то есть температура теплового равновесия, равна 0{^\circ}C\text{.}

Начальная температура воды равна t_{0}\text{,} конечная — 0{^\circ}C\text{.} Вода остывает до нуля, а часть льда плавится. При отсутствии теплопотерь сумма количеств теплоты равна нулю. Для дальнейшего решения необходимо выразить массы воды и растаявшего льда.

Запишем

Q_{1} + Q_{2} = 0

Пусть Q_{1} < 0\text{,} поскольку для остывающей воды разность температур равна 0 - t_{0}\text{.} Остывает вся исходная вода, а лёд тает частично. Поэтому

cm(0 - t_{0}) + \lambda\Delta m = 0

где \Delta m — масса растаявшего льда.

\lambda\Delta m = cmt_{0}

t_{0} = \frac{\lambda\Delta m}{cm}

Для нахождения массы m и растаявшей части льда используется начальный общий объём SH\text{:}

SH = \frac{m}{\rho_{\text{в}}} + \frac{m}{\rho_{\text{л}}}

Далее используем обозначения из условия: \rho_{0} — плотность воды, \rho_{1} — плотность льда. Выносим массу за скобку

SH = m\frac{\rho_{0} + \rho_{1}}{\rho_{0}\rho_{1}}

Отсюда определяется начальная масса воды, равная начальной массе льда

m = \frac{SH\rho_{0}\rho_{1}}{\rho_{0} + \rho_{1}}

Начальная масса определена. Теперь требуется найти \Delta m — массу растаявшего льда. Именно переход этой части льда в воду вызвал понижение уровня

S\Delta h = {\Delta m}_{л} - m_{в}

S\Delta h = \frac{\Delta m}{\rho_{1}} - \frac{\Delta m}{\rho_{0}} = \Delta m\frac{\rho_{0} - \rho_{1}}{\rho_{0}\rho_{1}}.

Понижение уровня \Delta h связано только с растаявшей массой \Delta m\text{.} Отсюда

\Delta m = \frac{S\Delta h\,\rho_{0}\rho_{1}}{\rho_{0} - \rho_{1}}

Найденная масса растаявшего льда подставляется в формулу начальной температуры воды

t_{0} = \frac{\lambda\Delta m}{cm}

Подставляем выражения для \Delta m и m\text{.} Удельную теплоту плавления \lambda и удельную теплоёмкость c пока оставляем

t_{0} = \frac{\lambda}{c} \cdot \frac{S\Delta h\,\rho_{0}\rho_{1}}{(\rho_{0} - \rho_{1})} \cdot \frac{(\rho_{0} + \rho_{1})}{SH\rho_{0}\rho_{1}}

Площадь основания сосуда в условии не дана. Итоговая формула позволит проверить, сократится ли эта неизвестная величина.

Площадь S сокращается, обе плотности в произведении \rho_{0}\rho_{1} также сокращаются. Получается итоговая формула

t_{0} = \frac{\lambda\Delta h(\rho_{0} + \rho_{1})}{cH(\rho_{0} - \rho_{1})}

Проверим размерность. Удельная теплота плавления \lambda измеряется в джоулях, разделенных на килограмм, \Delta h и H — в метрах, плотности — в килограммах, разделенных на кубический метр, а удельная теплоёмкость — в джоулях, разделенных на килограмм и градус Цельсия.

\left\lbrack t_{0} \right\rbrack =

\left\lbrack

\frac{Дж \cdot м \cdot кг \cdot м^{3} \cdot кг \cdot ℃}

{кг \cdot м^{3} \cdot м \cdot кг \cdot Дж}

\right\rbrack =

\left\lbrack ℃ \right\rbrack

Размерность верная, значит, уравнение составлено верно.

Подставим числа. Удельная теплота плавления льда \lambda = 330 \cdot 10^{3}\text{ Дж}/\text{кг.} Понижение уровня \Delta h = 0,5\text{ см,} то есть 0,5 \cdot 10^{- 2}\text{ м.} Плотности: \rho_{0} = 1000\text{ кг}/\text{м}^{3} и \rho_{1} = 900\text{ кг}/\text{м}^{3}\text{.} В знаменателе c = 4200\text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{°C})\text{,} высота H = 20\text{ см,} или 0,2\text{ м}

t_{0} = \frac{330 \cdot 10^{3} \cdot 0,5 \cdot 10^{- 2} \cdot (1000 + 900)}{4200 \cdot 0,2 \cdot (1000 - 900)}

После сокращений получаем

t_{0} = \frac{330 \cdot 19}{42 \cdot 4} \approx 37,3{^\circ}C

По приведённым данным искомая начальная температура воды составляет примерно 37,3{^\circ}C\text{.}

Ответ 37,3{^\circ}C\text{.}