ЗСЭ в тепловых процессах: Часть 1

Видео

Конспект

ЗСЭ в тепловых процессах

Задача 1

Условие

При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля ударилась о неупругое тело и расплавилась. На какой высоте произошло это столкновение, если начальная скорость пули 510 м/с, а температура 27^{\circ} C . 50 % выделившейся теплоты пошло на нагревание.

Решение

Выберем нуль потенциальной энергии на уровне начального положения пули.

Начальная кинетическая энергия пули E_{к 0} перейдёт на высоте h (то есть перед ударом) в потенциальную энергию E_{п} и кинетическую энергию E_{к} . В момент удара о неупругое тело кинетическая энергия E_{к} перейдёт в теплоту Q , часть которой увеличивает внутреннюю энергию пули (из-за этого она и плавится). Запишем закон сохранения энергии для двух описанных случаев:

\left\{\begin{array}{l}

E_{к 0}=E_{\text {п }}+E_{к} \\

E_{к}=Q

\end{array}\right. Очевидно, что два этих уравнения можно записать в виде одного:

E_{к 0}=E_{\text {п }}+Q \quad (1) Обратите внимание, что Q - это полное выделившееся количество теплоты. По условию лишь 50% ( \alpha часть) выделившейся теплоты пошло на нагревание пули, поэтому справедливо:

Q_{1}=\alpha Q \quad (2) С другой стороны, чтобы расплавить пулю, её необходимо сначала нагреть до температуры плавления ( t_{\text {п }}=327^{\circ} C). Поэтому количество теплоты Q_{1} также можно выразить следующим способом:

Q_{1}=c m\left(t_{п}-t_{0}\right)+\lambda m \quad (3) Здесь c - удельная теплоёмкость свинца, равная 130 Дж/(кг \cdot^{\circ} C ), \lambda - удельная теплота плавления свинца, равная 25 кДж/кг.

Приравняем (2) и (3) и выразим Q :

\begin{aligned}

&\alpha Q =c m\left(t_{\text {п }}-t_{0}\right)+\lambda m \\

&Q =\frac{m}{\alpha}\left(c\left(t_{\text {п }}-t_{0}\right)+\lambda\right)

\end{aligned} Получившееся выражение для количества теплоты Q подставим в (1), также в равенстве (1) распишем начальную кинетическую энергию пули E_{к 0} и потенциальную энергию E_{\text {п }} по известным формулам, тогда получим:

\frac{m v_{0}^{2}}{2}=m g h+\frac{m}{\alpha}\left(c\left(t_{\text {п }}-t_{0}\right)+\lambda\right) Обе части сократим на массу пули m :

0,5 v_{0}^{2}=g h+\frac{1}{-}\left(c\left(t_{\text {п }}-t_{0}\right)+\lambda\right) Осталось только выразить высоту h :

h=\frac{1}{g}\left(0,5 v_{0}^{2}-\frac{1}{\alpha}\left(c\left(t_{п}-t_{0}\right)+\lambda\right)\right) Посчитаем ответ, подставив значения всех величин в последнюю формулу (величины, данные в процентах, следует подставлять в долях единицы):

h=\frac{1}{10}\left(0,5 \cdot 510^{2}-\frac{1}{0,5}\left(130 \cdot(327-27)+25 \cdot 10^{3}\right)\right)=205 м Ответ h=205 м.

Задача 2

Условие

Свинцовая пуля, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, пробивает вертикальную доску на высоте 2 м над землей и нагревается на 200 К. На каком расстоянии от доски пуля упала на землю, если всё выделившееся тепло пошло на нагревание пули?

Решение

Рассмотрим движение пули после пробивания доски. Пусть v - скорость пули после прохождения сквозь доску. Запишем уравнения движения пули в проекциях на ось x и y (по сути это движение тела, брошенного горизонтально, в поле силы тяжести):

\left\{\begin{array}{l}

S=v t \quad (1) \\

h=\frac{g t^{2}}{2} \quad (2)

\end{array}\right. Из формулы (2) выразим время движения t :

\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}+c m \Delta T Скажем сразу, что удельная теплоёмкость свинца с равна 130 Дж/(кг \cdot К).

Сократим в обеих частях равенства на массу m и домножим на 2, тогда:

v_{0}^{2}=v^{2}+2 c \Delta T Выразим скорость v :

v=\sqrt{v_{0}^{2}-2 c \Delta T} Полученное выражение подставим в формулу (3), так мы получим решение задачи в общем виде:

S=\sqrt{\frac{2 h}{g}\left(v_{0}^{2}-2 c \Delta T\right)} t=\sqrt{\frac{2 h}{g}} Полученное выражение для времени t подставим в формулу (1):

S=v \sqrt{\frac{2 h}{g}} \quad (3) Отлично, чтобы решить задачу, нам необходимо найти скорость пули v . Примем нуль потенциальной энергии на уровне положения пули перед входом в доску. Запишем закон сохранения энергии (ЗСЭ) для момента до и после прохождения пулей доски:

E_{к 0}=E_{к}+Q Здесь E_{к 0} - начальная кинетическая энергия пули, E_{к} - кинетическая энергия пули после пробивания доски, Q - количество теплоты, которое выделилось при прохождении доски и пошло на нагревание пули. Распишем все перечисленные величины, тогда:

Посчитаем ответ: S=\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{10}\left(500^{2}-2 \cdot 130 \cdot 200\right)}=281,4 м

Ответ 281,4 м.