Графики

Графики позволяют определять параметры тепловых процессов и рассчитывать изменения состояния вещества.

Задача 1

Условие

Представлен график зависимости температуры T однородного стержня от его длины L . Какая температура T_{\text{уст}} установится в этом стержне через длительный промежуток времени, если теплопотерями с окружающей средой пренебречь?

Решение

Теплопотерь в окружающую среду нет. Две крайние части стержня отдают теплоту центральной. Если каждая крайняя часть остынет на один градус Цельсия, центральная часть при равных массах и теплоёмкостях нагреется на два градуса.

Для решения подходит метод «виртуального банка тепла»: все три части стержня мысленно охлаждаются до 0{^\circ}C\text{,} а суммарная выделившаяся теплота равномерно распределяется между ними. Температуру равновесия нельзя без расчёта принять равной 150{^\circ}C\text{.}

Для этого выразим количество теплоты cm\Delta t через длину стержня:

Q = cm\Delta t = c\rho V\Delta t = c\rho S\mathcal{l}\Delta t

Все три части одинаковые: \mathcal{l}_{1} = \mathcal{l}_{2} = \mathcal{l}_{3}\text{.} Поэтому здесь можно выделить постоянные множители, а суммарное количество теплоты будет зависеть от температуры. При охлаждении всех частей до 0{^\circ}C складывается теплота, выделившаяся в каждой из них. Первая и третья части дают одинаковые слагаемые:

Q = cm(0 - 200) + cm(0 - 100) + cm(0 - 200) = - 500cm.

Минус показывает направление теплового процесса и говорит о том, что при охлаждении теплота выделялась. Модуль этой теплоты затем распределяем между тремя частями. Для нахождения температуры при равномерном распределении теплоты делим её модуль на 3cm\text{.}

\Delta t = \frac{Q}{3cm} = \frac{500cm}{3cm}

Деление 500cm на 3cm даёт примерно 167{^\circ}C\text{,} а не 150{^\circ}C\text{.} Такая температура теплового равновесия установится во всём стержне. На графике сумма площадей под начальными участками соответствует площади под линией общей установившейся температуры.

Ответ температура теплового равновесия составляет примерно 167{^\circ}C\text{.}

Следующая задача с графиком — из Московской олимпиады школьников по физике.

Задача 2

Условие

Лабораторную работу по физике выполняли ученики Гриша и Ариша. По условиям лабораторной работы необходимо было взять капсулу со снегом массой \text{0,5 кг} при температуре \text{-10 °C} , включить нагреватель и капсулу необходимо было достать ровно в тот момент времени, когда весь снег растаял и вода имела бы температуру \text{0 °C} . Гриша делал все аккуратно, нанёс первые несколько точек на данный график, но потом он немного отвлёкся и в это время Ариша добавила ещё одну порцию снега в колориметр. Какой момент времени будет на часах, когда лабораторную работу можно будет закончить, если она началась в \text{9:00} ?

Решение

В этой задаче мощность нагревателя принимается постоянной P = const . Поэтому за равные промежутки времени передаётся одинаковое количество теплоты, независимо от действий Гриши и Ариши. Все изменения состояния вещества связаны с тепловыми процессами.

Проанализируем точки на графике и для удобства обозначим некоторые из них цифрами.

Сначала найдём мощность нагревателя. Последняя точка графика соответствует температуре - 2,5{^\circ}C\text{,} поэтому после неё снег ещё нужно нагреть до 0{^\circ}C и расплавить. Для расчёта этого времени потребуется мощность.

P = \frac{Q}{\tau}

Для расчёта мощности используем первый участок графика, до добавления снега. Можно выбрать любые удобные точки этого участка. Например, возьмём точку 1\text{:} температура - 7,5{^\circ}C в момент 21\text{ с.} На этом участке происходит только нагревание снега. Для точки 1 изменение температуры составляет \Delta t_{1} = - 7,5 - ( - 10) = 2,5{^\circ}C\text{,} а время — \tau_{1} = 21\text{ с.} Мощность нагревателя определяется формулой:

P = \frac{Q}{\tau} = \frac{cm\Delta t}{\tau}

Удельная теплоёмкость снега принимается равной удельной теплоёмкости льда: 2100\ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot {^\circ}C)\text{.} Масса равна 0,5\text{ кг,} изменение температуры — 2,5{^\circ}C\text{,} время — 21\text{ с.} Подстановка даёт P = 125\text{ Вт.}

P = \frac{2100 \bullet 1 \bullet 2,5}{21 \bullet 2} = \frac{250}{2} = 125\ Вт

Выбранные значения удобны для сокращения числовых множителей; с другой точкой того же участка, например при 42\text{ с,} получится та же мощность.

При оформлении олимпиадного решения важно учитывать критерии оценивания. Для Всероссийской олимпиады часто требуется итоговая формула, при выводе которой некоторые величины сокращаются. На Московской олимпиаде подробно оцениваются отдельные действия. Поэтому для каждой найденной величины следует записать формулу и показать расчёт.

После добавления снега мощность остаётся прежней. По скорости нагревания на новом линейном участке можно определить общую массу. Для расчёта подходят пары точек 2 - 3\text{,} 2 - 4 или 3 - 4\text{.} Можно выбрать любой участок, мы выберем 2 - 3 .

Общая масса вещества в капсуле определяется из формулы мощности:

P = \frac{cM\Delta t}{\tau_{2}}

Для выбранного интервала 2 - 3\ изменение температуры составляет \Delta t_{2} = - 4,5 - ( - 6,5) = 2{^\circ}C\text{.} Соответствующий промежуток времени — \tau_{2} = 21\text{ с.} Можно использовать и интервал от 105 до 126\text{ с,} равный 21\text{ с.} При выборе точек нужно согласовать их температуры и моменты времени.

Выразим общую массу снега после добавления новой порции:

M = \frac{P\tau_{2}}{c\Delta t}

Подставим значения. Найденная на предыдущем шаге мощность 125\text{ Вт} позволяет определить общую массу снега в калориметре. Интервал \tau_{2} равен 21\text{ с.} Удельная теплоёмкость снега составляет 2100\ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot {^\circ}C)\text{,} изменение температуры — 2{^\circ}C\text{.}

M = \frac{125 \bullet 21}{2100 \bullet 2} = \frac{125}{200} = 0,625

Общая масса снега стала 0,625\text{ кг} вместо первоначальных 0,5\text{ кг.} Следовательно, Ариша добавила 0,125\text{ кг.}

Теперь определим, сколько времени нужно для нагревания всей массы до нуля и её плавления. Мощность нагревателя по-прежнему постоянна.

Выберем момент, от которого будем рассчитывать оставшееся время. Можно использовать точки при 84\text{,} 105 или 126\text{ с.} Выберем отсчёт от 84\text{ с.} При отсчёте от 84\text{ с} снег нужно нагреть на 6,5{^\circ}C\text{,} от 105\text{ с} — на 4,5{^\circ}C\text{,} а от 126\text{ с} — на 2,5{^\circ}C\text{.} Начальный момент расчёта должен соответствовать выбранному изменению температуры.

По условию в капсуле обязательно должна находиться вода и только при 0{^\circ}C\text{.} Сначала новую массу M нагреваем на \Delta t\text{,} а потом эту массу ещё плавим

P = \frac{cM\Delta t + \lambda M}{\tau_{3}}

Вынесем массу за скобки и выразим оставшееся время \tau_{3}

\tau_{3} = \frac{M(c\Delta t + \lambda)}{P}

Здесь M — масса, которую нашли во втором действии, а мощность нагревателя уже известна.

Выбранному моменту должна соответствовать правильная величина \Delta t\text{.} В выбранной точке от начала опыта прошло 84 секунды. К моменту 9:00 прибавим эти 84 секунды и рассчитанное оставшееся время.

Масса равна 0,625\text{ кг,} удельная теплоёмкость — 2100\ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot {^\circ}C)\text{.} При выбранном моменте отсчёта снег нужно нагреть от - 6,5 до 0{^\circ}C\text{,} поэтому разность температур равна \Delta t = 0 - ( - 6,5) = 6,5{^\circ}C\text{.} Удельная теплота плавления составляет 330 \cdot 10^{3}\ \text{Дж}/\text{кг.} После подстановки и деления на мощность 125\text{ Вт} получается

\tau_{3} = \frac{0,625\left( 2100 \cdot 6,5 + 330 \cdot 10^{3} \right)}{125}

Выполнив вычисления, получаем 1718,25\text{ с.} Это оставшееся время, а не окончательный момент завершения работы. К началу опыта, 9:00\text{,} нужно прибавить 84\text{ с} и 1718,25\text{ с.}

\tau_{к} = 9:00 + 84с + 1718,25\ с

Переведём полученное время в минуты и секунды. Переведём секунды в минуты: 84 секунды делим на 60 и получаем 1,4 минуты. Аналогично делим 1718,25 секунды на 60\text{.}

Второй промежуток равен 28,6375 минуты. Вместе с 1,4 минуты получаем 30,0375 минуты, то есть 30 минут и 2,25 секунды.

Точный момент завершения работы — 9 часов 30 минут и 2,25 секунды, или примерно 9:30:02\text{.} Ответ должен содержать конечный момент, когда весь снег растает и можно будет выключить нагреватель.

Таким образом, лабораторную работу можно завершить в пределах урока. Для решения потребовалось последовательно определить мощность нагревателя, новую массу снега и время оставшихся тепловых процессов.

Ответ лабораторную работу можно закончить в 9 часов 30 минут и 2,25 секунды.