Графики: Часть 2

Задача 3

Условие

В калориметре со встроенным нагревателем находится некоторое вещество. Даны графики зависимости мощности от времени и температуры от количества теплоты. Необходимо сравнить теплоёмкость данного тела в твёрдом и жидком состояниях, найти температуру плавления и построить график зависимости времени от температуры.

Решение

Здесь последовательно происходят три процесса: нагревание твёрдого тела, плавление и нагревание жидкости. Для участков нагревания используем известную формулу количества теплоты.

Из формулы Q = cm\Delta t следует, что теплоёмкость тела равна произведению удельной теплоёмкости на массу C = cm . Её можно определить как отношение количества теплоты к изменению температуры.

C = \frac{Q}{\Delta t}

Найдем сначала теплоемкость твёрдого тела. Твёрдому состоянию соотвествует точка 1 на втором графике. Ей соответствуют количество теплоты Q_{0} и температура t_{0}\text{.} Начальная температура равна нулю, поэтому её изменение также равно t_{0}\text{.}

Теплоёмкость твёрдого тела составляет

C_{\text{тв}} = \frac{Q_{0}}{t_{0}}

Для жидкого состояния используются точки 2 и 3\text{.} Конечная температура равна 1,5t_{0}\text{.} На нагревание жидкости затрачивается количество теплоты Q_{0}\text{:} разность 4Q_{0} и 3Q_{0}\text{.} Изменение температуры на участке нагревания жидкости равно 1,5t_{0} - t_{0}\text{,} то есть 0,5t_{0}\text{.} Получаем

C_{\text{ж}} = \frac{4Q_{0} - 3Q_{0}}{1,5t_{0} - t_{0}} = \frac{Q_{0}}{0,5t_{0}} = \frac{2Q_{0}}{t_{0}}

Найдём отношение теплоёмкости в твёрдом состоянии к теплоёмкости в жидком:

\frac{C_{\text{тв}}}{C_{\text{ж}}} = \frac{Q_{0}/t_{0}}{2Q_{0}/t_{0}} = \frac{1}{2}

Теплоёмкость жидкости вдвое больше теплоёмкости твёрдого тела. Это ответ на первый вопрос.

Количество теплоты равно площади под графиком мощности от времени. На участке постоянной мощности оно определяется её произведением на время Q = N\tau . В данной задаче мощность сначала растёт, затем остаётся постоянной, поэтому необходимо учитывать форму всего графика.

Горизонтальный участок плавления на исходном графике расположен при температуре t_{0}\text{.} В конечной точке общее количество полученной теплоты равно 4Q_{0}\text{.} Это же количество определяется площадью фигуры, ограниченной графиком мощности и осью времени.

Фигура представляет собой трапецию. Её площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Основания равны 3\tau_{0} и \tau_{0}\text{,} высота — 2N_{0}\text{.} Поэтому

Q_{\text{общ}} = \frac{3\tau_{0} + \tau_{0}}{2} \cdot 2N_{0} = 4N_{0}\tau_{0}

Приравнивание выражений для общего количества теплоты даёт 4Q_{0} = 4N_{0}\tau_{0}\text{,} откуда

Q_{0} = N_{0}\tau_{0}

На плавление затрачивается 2Q_{0} теплоты. Необходимо определить участок графика мощности, которому соответствует это количество.

Точка 1 на графике мощности имеет координаты \tau_{0} и N_{0}\text{.} Переданное к этому моменту количество теплоты равно площади треугольника под графиком:

Q_{х} = \frac{N_{0}\tau_{0}}{2}

Это половина Q_{0}\text{,} поскольку Q_{0} = N_{0}\tau_{0}\text{.} Для определения начала плавления нужна точка, к которой веществу передано количество теплоты Q_{0}\text{.}

Искомый момент лежит между \tau_{0} и 2\tau_{0}\text{:} к моменту 2\tau_{0} площадь под наклонной частью графика уже соответствует 2Q_{0}\text{.} Пусть точка 2 находится на этой прямой и имеет координаты \tau и N\text{.} Переданное количество теплоты равно площади соответствующего треугольника.

Зависимость можно получить через постоянный угловой коэффициент или через подобие прямоугольных треугольников. Из подобия следует, что отношение N_{0} к \tau_{0} равно отношению N к \tau\text{:}

\frac{N_{0}}{\tau_{0}} = \frac{N}{\tau}

Отсюда значение мощности в выбранной точке находится легко:

N = \frac{N_{0}\tau}{\tau_{0}}

Теперь нужно определить это значение \tau\text{.} С одной стороны, количество теплоты, требовавшееся до начала процесса плавления, уже найдено: это Q_{0} = N_{0}\tau_{0}\text{.} С другой стороны, количество теплоты можно определить как площадь фигуры под графиком. Здесь эта площадь — треугольник, поэтому она равна N\tau/2\text{.}

Приравниваем площади:

N_{0}\tau_{0} = \frac{N\tau}{2}

Подстановка найденного выражения для N даёт

N_{0}\tau_{0} = \frac{1}{2} \cdot \frac{N_{0}\tau}{\tau_{0}} \cdot \tau = \frac{N_{0}\tau^{2}}{2\tau_{0}}

Умножаем обе части равенства на 2\tau_{0}

2N_{0}\tau_{0}^{2} = N_{0}\tau^{2}

Сокращаем N_{0} и извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства:

\tau = \sqrt{2}\,\tau_{0}

Момент начала плавления найден. Теперь определим его окончание. После плавления на нагревание жидкости остаётся Q_{0} теплоты.

Последний участок нагревания занимает 0,5\tau_{0}\text{,} а мощность на нём равна 2N_{0}\text{.} Его начало находится посередине последнего участка исходного графика. Переданное за это время количество теплоты составляет:

2N_{0} \cdot 0,5\tau_{0} = N_{0}\tau_{0} = Q_{0}

Полученное равенство подтверждает, что последнему участку соответствует количество теплоты Q_{0}\text{.} Время окончания плавления равно

\tau_{\text{кон}} = 2,5\tau_{0}

Продолжительность плавления равна разности моментов его окончания и начала. Этот промежуток можно разделить на две части. От 2\tau_{0} до 2,5\tau_{0} проходит 0,5\tau_{0}\text{.} Вторая часть равна разности 2\tau_{0} и найденного момента начала плавления \sqrt{2}\,\tau_{0}\text{.} Таким образом,

\Delta\tau_{\text{пл}} = 0,5\tau_{0} + (2\tau_{0} - \sqrt{2}\,\tau_{0}) = \left( 2,5 - \sqrt{2} \right)\tau_{0}

Выносим \tau_{0} за скобки. Корень из двух — примерно 1,4\text{,} поэтому ответ получается достаточно простой

\Delta\tau_{\text{пл}} \approx 1,1\tau_{0}

Для построения графика температуры от времени на оси температуры отмечаются 0\text{,} t_{0} и 2t_{0}\text{:} верхняя граница 2t_{0} сохраняется. На оси времени \tau отмечаются заданные значения \tau_{0}\text{,} 2\tau_{0} и 3\tau_{0}\text{.}

Поскольку \sqrt{2} примерно равно 1,4\text{,} плавление начинается немного раньше момента 1,5\tau_{0}\text{.} До этого температура повышается и при \tau = \sqrt{2}\,\tau_{0} достигает t_{0}\text{.} До окончания плавления в момент 2,5\tau_{0} температура сохраняется равной t_{0}\text{,} после чего начинается нагревание жидкости.

Первый участок соответствует нагреванию при переменной мощности. Поэтому зависимость температуры от времени здесь нелинейная; прямая линия была бы ошибкой. Далее идёт плавление при температуре t_{0}\text{,} затем — нагревание жидкости до 1,5t_{0}\text{,} указанной в условии.

Так, графики мощности и полученной теплоты позволяют построить график температуры от времени. Первый участок этого графика нелинеен.

Ответ теплоёмкость жидкости вдвое больше теплоёмкости твёрдого тела; температура плавления равна t_{0}\text{;} продолжительность плавления составляет (2,5 - \sqrt{2})\tau_{0}\text{,} или примерно 1,1\tau_{0}\text{.} На графике температуры от времени сначала идёт нелинейный участок нагревания твёрдого тела до t_{0}\text{,} затем горизонтальный участок плавления и далее нагревание жидкости до 1,5t_{0}\text{.}