Разное с олимпиад: Часть 2

Задача 2 (Заключительный этап олимпиады "Газпром", 9 класс)

Задача заключительного этапа олимпиады «Газпром» для девятого класса. В ней используются тепловые процессы из курса восьмого класса и сведения об идеальной холодильной машине.

Условие

Диана решила приготовить лёд, взяв \text{0,5 л} воды при \text{20°C} и поместив в морозильную камеру мощностью \text{250 Вт} . Через \text{40 мин} температура льда стала \text{-17°C} . Найти КПД камеры и сравнить с КПД идеальной холодильной машины при температурах конденсации \text{47°C} и испарения \text{-33°C} .

c_{v}\text{ = 4200 Дж/(кг°C)} ; \lambda\text{ = 330 кДж/кг} ; c_{л}\text{ = 2100 Дж/(кг°C)} ; T_{\text{0}}\text{ = -273 K} .

Решение

Решение состоит из расчёта показателя эффективности морозильной камеры, расчёта для идеальной холодильной машины и сравнения результатов. В задаче этот показатель обозначен как КПД.

С одной стороны, КПД по определению равен

\eta = \frac{Q_{\text{п}}}{Q_{\text{з}}} \cdot 100\%

Полезный результат — получение льда. Необходимо учесть три процесса: охлаждение воды от 20{^\circ}C до нуля, кристаллизацию и охлаждение льда до - 17{^\circ}C\text{.} Эти процессы нельзя заменять одним участком охлаждения льда.

Полезное количество теплоты — теплота, отведённая от вещества. Сначала вода остывает до нуля. Затем она превращается в лёд, после чего лёд охлаждается.

Q_{\text{п}} = c_{\text{в}}m_{в}\Delta t_{\text{в}} - \lambda m - c_{\text{л}}m_{л}\Delta t_{\text{л}}

Индекс у массы можно опустить, поскольку при фазовых переходах масса сохраняется: меняются плотность и объём, но не масса.

Вынесем массу за скобки.

Q_{\text{п}} = m(c_{\text{в}}\Delta t_{\text{в}} - \lambda - c_{\text{л}}\Delta t_{\text{л}})

В последнем слагаемом обязательно используем удельную теплоёмкость льда, поскольку после кристаллизации охлаждается уже лёд. Невнимательность при выборе теплоёмкости приводит к ошибке.

Масса определяется как произведение плотности воды на её объём. После подстановки получается

Q_{\text{п}} = \rho_{в}V(c_{\text{в}}\Delta t_{\text{в}} - \lambda - c_{\text{л}}\Delta t_{\text{л}})

Итоговая формула получена. Хотя известно, что один литр воды имеет массу примерно один килограмм, в решении нужно явно показать переход от заданного объёма к массе через плотность.

Начинаем подставлять числовые значения. Плотность воды равна 1000\ \text{кг}/\text{м}^{3}\text{;} 0,5\text{ л} переводим в кубические метры: 0,5 \cdot 10^{- 3}\ \text{м}^{3}\text{.} Для воды берём 4200\ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})\text{,} её конечную температуру 0{^\circ}C и начальную температуру 20{^\circ}C\text{.} Удельная теплота кристаллизации — постоянная величина: 330 \cdot 10^{3}\ \text{Дж}/\text{кг.} Удельная теплоёмкость льда составляет половину удельной теплоёмкости воды, то есть 2100\ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})\text{.} Конечная температура льда - 17{^\circ}C\text{,} начальная — 0{^\circ}C\text{.}

Масса полулитра воды равна половине килограмма, поэтому перед скобками стоит множитель 0,5\text{.} Перед теплотой кристаллизации ставится минус: в этом процессе теплота выделяется.

Q_{\text{п}} = 10^{3} \cdot 0,5 \cdot 10^{- 3}\left( 4200(0 - 20) + 330 \cdot 10^{3} + 2100( - 17 - 0) \right) = - 224\text{ }850\text{ Дж}

Минус показывает только направление теплового процесса, поэтому количество теплоты, которое забрала морозильная камера, возьмём по модулю \left| Q_{п} \right| = 224\text{ }850\text{ Дж} .

Затраты Q_{\text{затрач}} — совершённая работа. Поэтому показатель эффективности определяется делением отведённой теплоты на эту работу.

Работа равна произведению мощности и времени.

\eta = \frac{Q_{п}}{A} = \frac{Q_{п}}{Pt}

По условию мощность составляет 250\text{ Вт,} время работы — 40 минут, или 40 \cdot 60\text{ с.} Показатель эффективности в долях единицы равен

\eta = \frac{224\, 850}{250 \cdot 40 \cdot 60} \approx 0,375

В процентах полученное значение составляет 37,5\%\text{.}

2) В холодильной машине работа совершается над рабочим телом; работа самого рабочего тела при этом отрицательна. Для идеальной холодильной машины показатель определяется отношением температуры испарителя к разности температур конденсации и испарителя.

\eta_{ид} = \frac{T_{х}}{T_{к} - T_{х}}

Для расчёта необходимо перевести температуры в кельвины:

T_{K} = t_{C} + 273

Отсюда получается абсолютный ноль: если температура в кельвинах равна нулю, то температура по Цельсию равна - 273{^\circ}C\text{.}

Температура испарителя: T_{х} = - 33 + 273 = 240\ \text{К.} Температура конденсации хладагента: T_{к} = 47 + 273 = 320\ \text{К.} Показатель идеальной холодильной машины равен

\eta_{ид} = \frac{240}{320 - 240} = \frac{240}{80} = 3

Показатель холодильной машины может превышать 100\%\text{,} поскольку сравниваются отведённая теплота и затраченная работа. По смыслу он отличается от КПД теплового двигателя.

В этой задаче важно перевести температуры в кельвины и правильно истолковать полученное значение для холодильной машины.

3) Отношение показателя идеальной холодильной машины к полученному показателю камеры равно

\frac{3}{0,375} = 8

Задачи перечневых олимпиад полезно решать даже тогда, когда не удаётся сразу пройти все этапы. Если часть решения вызывает затруднения, стоит подробно оформить те шаги, которые удалось выполнить: за них можно получить частичные баллы.

В задаче сочетаются два уровня материала. Расчёт для данной морозильной камеры опирается на изученные в школе тепловые процессы. Расчёт для идеального холодильника относится к углублённой программе. Это помогает понять, какую часть решения можно выполнить на основе уже известных формул и что ещё нужно изучить.

Показатель идеальной холодильной машины больше единицы. Сравнение двух показателей завершает расчёт.

Ответ показатель эффективности камеры равен 37,5\%\text{,} идеальной холодильной машины — 3\text{;} идеальный показатель больше полученного в 8 раз.