Квантовые законы и физика микромира

Задача 7

Условие

Пусть в нашем распоряжении есть источник, испускающий в направлении оси z фотоны в заданном состоянии поляризации (всегда в одном и том же). Если поставить на оси пучка детектор, регистрирующий фотоны, поляризованные вдоль оси x , то в сериях из 1000 испущенных фотонов детектор в среднем регистрирует 800 фотонов. Если изменить настройку детектора так, чтобы он регистрировал фотоны, поляризованные линейно вдоль биссектрисы между осями x и y , то детектор будет в среднем «замечать» 700 фотонов из 1000. В финальном эксперименте детектор был перенастроен на регистрацию фотонов с правой круговой поляризацией. Предскажите, какое количество фотонов из серии в 1000 фотонов в среднем будет регистрировать детектор.

Решение

Напомним для начала, что у классической электромагнитной волныи при каждом значении волнового вектора \vec{k} возможны две независимых поляризации. Они соответствуют двум возможным взаимно перпендикулярным направлениям, в которых происходят колебания вектора \vec{E} напряженности электрического поля в волне (они всегда происходят в плоскости, перпендикулярной \vec{k} ). Например, если \vec{k} направлен вдоль оси z , то две возможных поляризации соответствуют колебаниям вдоль осей x и y , которые можно задавать единичными векторами \vec{e}_{x} и \vec{e}_{y} . Для примера на рисунке показано положение векторов \vec{k}, \vec{E} и \vec{B} в волне, поляризованной вдоль оси x .

1

Конечно, у волны могут быть и другие состояния поляризации, но их можно получить при помощи наложения (суперпозиции) базисных состояний. Отметим, что при составлении суперпозиции мы можем строить не только другие линейные поляризации (для них вектор \vec{E} в волне направлен вдоль оси, отличающейся от x и y , а проекции \vec{E} на базисные оси имеют разные значения, но колеблются синфазно). Путем суперпозиции можно получить также круговые или эллиптические поляризации, при которых проекции вектора \vec{E} на базисные оси совершают колебания со сдвигом по фазе относительно друг друга. Для описания таких колебаний можно использовать метод комплексных амплитуд. Например, правая и левая циркулярные поляризации соответствуют суперпозиции двух линейных поляризаций по осям х и у с одинаковыми амплитудами и со сдвигом фаз на \frac{\pi}{2} в разные стороны (конец вектора в волне «прочерчивает» правую или левую винтовую линию). В квантовой физике эти же рассуждения относятся к поляризационным состояниям отдельных фотонов.

Пусть |x, y\rangle - состояния фотона, движущегося вдоль оси z и поляризованного линейно по осям x и y . Состояние фотонов пучка можно рассматривать как квантовую суперпозицию этих состояний и описать как |\psi\rangle=|\alpha| \cdot|x\rangle+|\beta| e^{i \varphi} \cdot|y\rangle . При этом w_{x}=|\boldsymbol{\alpha}|^{2} , и ясно, что вероятность обнаружить поляризацию вдоль x можно определить (пусть и с некоторой статистической неопределенностью) как w_{x} \approx \frac{N_{1}}{N}=\frac{800}{1000}=0,8 . Так как число фотонов в «порции» довольно велико, считаем, что статистический разброс мал (на самом деле w_{x}=0,800 \pm 0,013 , но этот вывод требует более сложного анализа статистики, и мы его производить не будем). Значит, |\alpha|=\sqrt{0,8} \approx 0,894 . Из условия нормировки вероятности находим, что w_{y}=|\beta|^{2}=1-w_{x} \approx 0,2 , то есть |\beta|=\sqrt{0,2} \approx 0,447 . Итак, |\psi\rangle=\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}} e^{i \varphi} \cdot|y\rangle .

Во втором эксперименте поляризация, которую должен обнаруживать детектор, соответствует |\tilde{x}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|y\rangle . Это одно из двух состояний поляризации - второе состояние |\tilde{y}\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|y\rangle . Выразив «старые» поляризационные состояния через «новые», получим: \left\{\begin{array}{l}

|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|\tilde{x}\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|\tilde{y}\rangle \\

|y\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|\tilde{x}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|\tilde{y}\rangle

\end{array}\right\} \Rightarrow|\psi\rangle=\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}} e^{i \varphi} \cdot|y\rangle=\frac{2+e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}|\tilde{x}\rangle+\frac{-2+e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}|\tilde{y}\rangle . Значит, вероятность регистрации во втором случае равна w_{2}=\left|e=\left|\frac{2+e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}\right|^{2}=\frac{[2+\cos (\varphi)]^{2}+\sin ^{2}(\varphi)}{10}=\frac{1}{2}+\frac{2}{5} \cos (\varphi)\right. . С другой стороны, результат второго эксперимента дает w_{2} \approx \frac{N_{2}}{N}=0,7 ( w_{2}=0,700 \pm 0,014 ). Следовательно, \cos (\varphi) \approx 0,5 ,то есть \varphi \approx \pm \frac{\pi}{3} , а это означает, что \sin (\varphi) \approx \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \pm 0,866 .

Для третьего эксперимента регистрируемое состояние соответствует сложению колебаний по осям x и y с одинаковыми амплитудами и сдвигам фаз на \frac{\pi}{2}:|R\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|y\rangle . «Парная» - левая циркулярная поляризация - соответствует |L\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|y\rangle . Поэтому \left\{\begin{array}{l}

|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|R\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|L\rangle \\

|y\rangle=\frac{-i}{\sqrt{2}} \cdot|R\rangle+\frac{-i}{\sqrt{2}} \cdot|L\rangle

\end{array}\right\} \Rightarrow|\psi\rangle=\frac{2-i e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}|R\rangle+\frac{-2-i e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}|L\rangle . и вероятность регистрации фотонов в этом эксперименте w_{3}=\left|\frac{2-i e^{i \varphi}}{\sqrt{10}}\right|^{2}=\frac{[2+\sin (\varphi)]^{2}+\cos ^{2}(\varphi)}{10}=\frac{1}{2}+\frac{2}{5} \sin (\varphi) \approx \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0,5 \pm 0,346 . Следовательно, ожидаемое среднее значение зарегистрированных фотонов N_{3}=w_{3} N \approx 500 \pm 346 , то есть 846 или 154. На самом деле ясно, что точность этих предсказаний не выше точности, с которой были определены |\alpha|,|\beta| и \varphi , так что возможная ошибка в определении отклонения w_{3} от 0,5 - около 5 \% . Значит, возможная ошибка в определении N_{3} - около 20 . Но анализ точности предсказания в задаче не требовался.

Ответ 846 или 154.

Фотоны, испускаемые источником, находятся в некотором поляризационном состоянии (одинаковом для всех испускаемых фотонов). Источник выдает «серии» по 1000 фотонов, посылаемых последовательно. Фотоны направляются в детектор, снабженный на входе полупрозрачным зеркалом, пропускающим одно состояние линейной поляризации и отражающим ортогональное к нему. В первом эксперименте зеркало пропускало фотоны, поляризованные вдоль оси x. В этом эксперименте детектор насчитывал в одной серии в среднем N_1 = 600 фотонов. Во втором эксперименте зеркало пропускало фотоны с левой циркулярной поляризацией. Детектор насчитывал в этом случае в среднем по N_2 = 500 фотонов за серию. В третьем эксперименте зеркало пропускало фотоны, поляризованные под углом 60^\circ к оси x. Предскажите результат подсчета фотонов в среднем за серию в третьем эксперименте. Считайте, что количество серий в одном эксперименте было очень велико. В ответе укажите самое вероятное значение с точностью до целого значения.