Квантовые законы и физика микромира

3} Изучите «газ» электронов проводимости в металле. Понятно, что реальные электроны взаимодействуют друг с другом и с ионами решетки металла, однако внутри металла существуют электроны, которые двигаются практически как свободные (то есть почти невзаимодействующие): для них электростатическое отталкивание «в среднем» компенсируется притяжением к ионам решетки. Одна из важных характеристик структуры металла, во многом определяющая его свойства - это концентрация таких электронов проводимости $n_{e}$. Найдите максимальную кинетическую энергию электронов проводимости. Определите давление «электронного газа» при температуре металла, близкой к абсолютному нулю*. Решение Электроны проводимости - фермионы (спин $1 / 2$ ), поэтому они занимают состояния по одному. Значит, число электронов проводимости равно числу занятых состояний. Пусть в куске металла объемом $V$ находятся $N_{e}$ электронов. При $T \approx 0$ все они стремятся занять состояния с наименьшей энергией. Энергию электронов принимаем равной кинетической энергии (потенциальную энергию считаем равной 0 всюду внутри металла). Поэтому электроны займут состояния с модулем импульса, не превосходящем некоторого максимального значения (это значение называют импульсом Ферми). Обозначим этот импульс $p_{F}$, и тогда занимаемый электронами импульсный объем равен $\frac{4 \pi}{3} p_{F}^{3}$. Кроме того, у электронов есть две возможные проекции спина, отвечающие двум независимым спиновым состояниям. Итак, $N_{e}=n_{e} V=\frac{1}{h^{3}} V \cdot \frac{4 \pi}{3} p_{F}^{3} \cdot 2 \cdot$ Выражаем отсюда импульс Ферми: $$ p_{F}=h \cdot\left(\frac{3 n_{e}}{8 \pi}\right)^{1 / 3}. $$ Максимальная энергия электрона проводимости (энергия Ферми): $$ E_{F}=\frac{p_{F}^{2}}{2 m}=\frac{h^{2}}{8 m} \cdot\left(\frac{3 n_{e}}{\pi}\right)^{2 / 3}. $$ Таким образом, кинетическая энергия электронов проводимости изменяется в интервале от нуля до энергии Ферми, определяемой этим соотношением. Интересно вычислить полную внутреннюю энергию «электронного газа». Количество электронов в каждом «сферическом слое» импульсного пространства $d N_{e}=2 \frac{1}{h^{3}} V \cdot 4 \pi p^{2} d p$, а энергия каждого из них есть $\frac{p^{2}}{2 m}$, поэтому $$ E=\frac{8 \pi}{h^{3}} V \int\limits_{0}^{p_{F}} \frac{p^{2}}{2 m} p^{2} \dd p=V \frac{2 \pi p_{F}^{5}}{5 m h^{3}}=\frac{3}{80}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m V^{2 / 3}} . $$ Следовательно, давление этого газа $$ p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\left(\frac{3}{\pi}\right) \frac{h^{2} n_{e}^{5 / 3}}{40 m}. $$ Как видно, давление фермионного газа даже при абсолютном нуле температуре не равно нулю и гораздо быстрее растет с ростом концентрации частиц $p \sim n_{e}^{5 / 3}$, чем у «классического» идеального газа (для которого при нулевой абсолютной температуре давление равно нулю, а при ненулевой $p \sim n$ ). Ответ $E=\frac{3}{80}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m V^{2 / 3}}, p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\left(\frac{3}{\pi}\right) \frac{h^{2} n_{e}^{5 / 3}}{40 m}$.