Квантовые законы и физика микромира

Задача 3

Условие

Изучите «газ» электронов проводимости в металле. Понятно, что реальные электроны взаимодействуют друг с другом и с ионами решетки металла, однако внутри металла существуют электроны, которые двигаются практически как свободные (то есть почти невзаимодействующие): для них электростатическое отталкивание «в среднем» компенсируется притяжением к ионам решетки. Одна из важных характеристик структуры металла, во многом определяющая его свойства - это концентрация таких электронов проводимости n_{e} . Найдите максимальную кинетическую энергию электронов проводимости. Определите давление «электронного газа» при температуре металла, близкой к абсолютному нулю*.

Решение

Электроны проводимости - фермионы (спин 1 / 2 ), поэтому они занимают состояния по одному. Значит, число электронов проводимости равно числу занятых состояний. Пусть в куске металла объемом V находятся N_{e} электронов. При T \approx 0 все они стремятся занять состояния с наименьшей энергией. Энергию электронов принимаем равной кинетической энергии (потенциальную энергию считаем равной 0 всюду внутри металла). Поэтому электроны займут состояния с модулем импульса, не превосходящем некоторого максимального значения (это значение называют импульсом Ферми). Обозначим этот импульс p_{F} , и тогда занимаемый электронами импульсный объем равен \frac{4 \pi}{3} p_{F}^{3} . Кроме того, у электронов есть две возможные проекции спина, отвечающие двум независимым спиновым состояниям. Итак, N_{e}=n_{e} V=\frac{1}{h^{3}} V \cdot \frac{4 \pi}{3} p_{F}^{3} \cdot 2 \cdot Выражаем отсюда импульс Ферми: p_{F}=h \cdot\left(\frac{3 n_{e}}{8 \pi}\right)^{1 / 3}. Максимальная энергия электрона проводимости (энергия Ферми): E_{F}=\frac{p_{F}^{2}}{2 m}=\frac{h^{2}}{8 m} \cdot\left(\frac{3 n_{e}}{\pi}\right)^{2 / 3}. Таким образом, кинетическая энергия электронов проводимости изменяется в интервале от нуля до энергии Ферми, определяемой этим соотношением. Интересно вычислить полную внутреннюю энергию «электронного газа». Количество электронов в каждом «сферическом слое» импульсного пространства d N_{e}=2 \frac{1}{h^{3}} V \cdot 4 \pi p^{2} d p , а энергия каждого из них есть \frac{p^{2}}{2 m} , поэтому E=\frac{8 \pi}{h^{3}} V \int\limits_{0}^{p_{F}} \frac{p^{2}}{2 m} p^{2} dp=V \frac{2 \pi p_{F}^{5}}{5 m h^{3}}=\frac{3}{80}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m V^{2 / 3}} . Следовательно, давление этого газа p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\left(\frac{3}{\pi}\right) \frac{h^{2} n_{e}^{5 / 3}}{40 m}. Как видно, давление фермионного газа даже при абсолютном нуле температуре не равно нулю и гораздо быстрее растет с ростом концентрации частиц p \sim n_{e}^{5 / 3} , чем у «классического» идеального газа (для которого при нулевой абсолютной температуре давление равно нулю, а при ненулевой p \sim n ).

Ответ E=\frac{3}{80}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m V^{2 / 3}}, p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\left(\frac{3}{\pi}\right) \frac{h^{2} n_{e}^{5 / 3}}{40 m} .