Квантовые законы и физика микромира

1} Пучок электронов с кинетической энергией $E_{K}$ движется вдоль оси х. На его пути расположено препятствие шириной $L$, созданное с помощью электрических полей: сначала электроны попадают в узкий (с шириной, много меньше $L$ ) промежуток с тормозящим полем, в которых их кинетическая энергия уменьшается на $U_{0}$, затем движутся свободно, а в конце препятствия попадают в узкий промежуток с ускоряющим полем, в котором их кинетическая энергия увеличивается на $U_{0}$. Пусть параметры нашей системы подобраны так, что $U_{0}=\frac{h^{2}}{16 m L^{2}}=2$ эВ (здесь $m-$ масса электрона). С корпускулярной точки зрения электроны должны проходить такое препятствие без отражения, но на самом деле отражение происходит - в этом проявляются волновые свойства электронов. Отраженную от препятствия волну вероятности, соответствующую такому электрону, можно считать суперпозицией волн, отраженных от первого и второго промежутков с полем. Считая, что «слева» от препятствия амплитуды этих волн одинаковы" найдите минимальную величину кинетической энергии в области $E_{K}>U_{0}$, при которой вероятность прохождения электронов через это препятствие равна $100 \ \noindent\underline{\textbf{Решение}} Эта задача аналогична задаче о «просветлении объектива» в волновой оптике. Вероятность прохождения $100 \ $$ 2 L=n \cdot \lambda=n \frac{h}{p}=n \frac{h}{\sqrt{2 m\left(E_{K}-U_{0}\right)}} \Rightarrow E_{K}=U_{0}+\frac{h^{2}}{8 m L^{2}} n^{2}=\frac{h^{2}}{8 m L^{2}}\left(n^{2}+\frac{1}{2}\right) . $$ Минимальное значение энергии в области $E_{K}>U_{0}$ достигается при $n=1$ и равно $E_{K}=\frac{3 h^{2}}{16 m L^{2}}=6$ эВ. Ответ $E_{K}=\frac{3 h^{2}}{16 m L^{2}}=6$ эВ. 2} Найдите давление газа из $N\gg 1$ нерелятивистских бесспиновых частиц массы $m$, помещенных в ящик с непроницаемыми стенками с размерами $L \times 2 L \times 4 L$, при температуре, близкой к абсолютному нулю. Решение При $T \approx 0$ произойдет конденсация частиц бозе-газа: все они окажутся в состоянии с минимальной энергией, которое одновременно есть состояние с минимальным модулем импульса, то есть с максимальной длиной волны, которая равна удвоенной максимальной длине между стенками $\lambda_{\min }=8 L$. Поэтому энергия газа $E=N \cdot \frac{h^{2}}{2 m \lambda_{\min }^{2}}=\frac{N h^{2}}{128 m L^{2}}$. С учетом того, что объем газа $V=8 L^{3} \Rightarrow L=\frac{1}{2} V^{1 / 3}$, можно переписать это выражение в виде $E=\frac{N h^{2}}{32 m V^{2 / 3}}$. Значит, давление бозе-газа при нулевой температуре связана с его концентрацией $n=\frac{N}{V}$ $$ p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\frac{N h^{2}}{48 m V^{5 / 3}}=\frac{h^{2}}{48 m V^{2 / 3}} n. $$ Ответ $p=\frac{h^{2}}{48 m V^{2 / 3}} n$.