Квантовые законы и физика микромира

Задача 1

Условие

Пучок электронов с кинетической энергией E_{K} движется вдоль оси х. На его пути расположено препятствие шириной L , созданное с помощью электрических полей: сначала электроны попадают в узкий (с шириной, много меньше L ) промежуток с тормозящим полем, в которых их кинетическая энергия уменьшается на U_{0} , затем движутся свободно, а в конце препятствия попадают в узкий промежуток с ускоряющим полем, в котором их кинетическая энергия увеличивается на U_{0} . Пусть параметры нашей системы подобраны так, что U_{0}=\frac{h^{2}}{16 m L^{2}}=2 эВ (здесь m- масса электрона). С корпускулярной точки зрения электроны должны проходить такое препятствие без отражения, но на самом деле отражение происходит - в этом проявляются волновые свойства электронов. Отраженную от препятствия волну вероятности, соответствующую такому электрону, можно считать суперпозицией волн, отраженных от первого и второго промежутков с полем. Считая, что «слева» от препятствия амплитуды этих волн одинаковы" найдите минимальную величину кинетической энергии в области E_{K}>U_{0} , при которой вероятность прохождения электронов через это препятствие равна 100 \% . Учтите, что при прохождении волны вероятности через любой промежуток, как и при отражении волны вероятности от промежутка с ускоряющим полем, фаза волны вероятности не сдвигается, в то время как при отражении от промежутка с тормозящим полем, ее фаза сдвигается на \pi .

Решение

Эта задача аналогична задаче о «просветлении объектива» в волновой оптике. Вероятность прохождения 100 \% соответствует вероятности отражения, равной 0 . Это возможно, если «слева» от препятствия волны, отраженные от промежутков с полем, взаимно погашают друг друга. По условию они имеют одинаковые амплитуды, и для полного погашения они должны иметь разность фаз, отвечающую \pi+2 \pi \cdot n , где n - целое число. Сдвиг по фазе на \pi возникает при отражении от промежутка с тормозящим полем. Поэтому для достижения полного прохождения необходимо, чтобы двойное прохождение волной вероятности расстояния между промежутками отвечали сдвигу фазы на 2 \pi \cdot n . Кинетическая энергия частицы между промежутками равна E_{K}-U_{0} , и модуль ее импульса в этой области p=\sqrt{2 m\left(E_{K}-U_{0}\right)} \cdot Значит, 2 L=n \cdot \lambda=n \frac{h}{p}=n \frac{h}{\sqrt{2 m\left(E_{K}-U_{0}\right)}} \Rightarrow E_{K}=U_{0}+\frac{h^{2}}{8 m L^{2}} n^{2}=\frac{h^{2}}{8 m L^{2}}\left(n^{2}+\frac{1}{2}\right) . Минимальное значение энергии в области E_{K}>U_{0} достигается при n=1 и равно E_{K}=\frac{3 h^{2}}{16 m L^{2}}=6 эВ.

Ответ E_{K}=\frac{3 h^{2}}{16 m L^{2}}=6 эВ.

Задача 2

Условие

Найдите давление газа из N\gg 1 нерелятивистских бесспиновых частиц массы m , помещенных в ящик с непроницаемыми стенками с размерами L \times 2 L \times 4 L , при температуре, близкой к абсолютному нулю.

Решение

При T \approx 0 произойдет конденсация частиц бозе-газа: все они окажутся в состоянии с минимальной энергией, которое одновременно есть состояние с минимальным модулем импульса, то есть с максимальной длиной волны, которая равна удвоенной максимальной длине между стенками \lambda_{\min }=8 L . Поэтому энергия газа E=N \cdot \frac{h^{2}}{2 m \lambda_{\min }^{2}}=\frac{N h^{2}}{128 m L^{2}} . С учетом того, что объем газа V=8 L^{3} \Rightarrow L=\frac{1}{2} V^{1 / 3} , можно переписать это выражение в виде E=\frac{N h^{2}}{32 m V^{2 / 3}} . Значит, давление бозе-газа при нулевой температуре связана с его концентрацией n=\frac{N}{V} p=-\frac{\partial E}{\partial V}=\frac{N h^{2}}{48 m V^{5 / 3}}=\frac{h^{2}}{48 m V^{2 / 3}} n. Ответ p=\frac{h^{2}}{48 m V^{2 / 3}} n .

Пучок электронов с кинетической энергией E_K движется вдоль оси x . На его пути расположено препятствие шириной L , созданное с помощью электрических полей: сначала электроны попадают в узкий (с шириной, много меньше L ) промежуток с тормозящим полем, в которых их кинетическая энергия уменьшается на U_0 , затем движутся свободно, а в конце препятствия попадают в узкий промежуток с ускоряющим полем, в котором их кинетическая энергия увеличивается на U_0 . Пусть параметры нашей системы подобраны так, что U_0 = \frac{h^2}{8mL^2} = 2{,}4 эВ (здесь m – масса электрона). С корпускулярной точки зрения электроны должны проходить такое препятствие без отражения, но на самом деле отражение происходит – в этом проявляются волновые свойства электронов. Отраженную от препятствия волну вероятности, соответствующую такому электрону, можно считать суперпозицией волн, отраженных от первого и второго промежутков с полем. Считая, что «слева» от препятствия амплитуды этих волн одинаковы, найдите \underline{минимальную величину} кинетической энергии в области E_K > U_0 , при которой вероятность прохождения электронов через это препятствие равна 100 \%. Учтите, что при прохождении волны вероятности через любой промежуток, как и при отражении волны вероятности от промежутка с ускоряющим полем, фаза волны вероятности не сдвигается, в то время как при отражении от промежутка с тормозящим полем, ее фаза сдвигается на \pi . Ответ запишите в эВ, с точностью до десятых.