Квантовые законы и физика микромира

4} Пусть одномерный гармонический осциллятор находится в состоянии квантовой суперпозиции стационарных состояний, в котором он с вероятностью $\frac{5}{8}$ находится в основном состоянии $(n=0)$, с вероятностью $\frac{1}{4}$ - в низшем возбужденном состоянии $(n=1$ ) и с вероятностью $\frac{1}{8}-$ в состоянии с $n=2$. Найдите среднее значение энергии осциллятора и стандартное отклонение от этого среднего. Уровни энергии линейного осциллятора определяются формулой $E_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$. Решение Среднее значение энергии $$ \bar{E}=\frac{5}{8} \frac{\hbar \omega}{2}+\frac{1}{4} \frac{3 \hbar \omega}{2}+\frac{1}{8} \frac{5 \hbar \omega}{2}=\hbar \omega . $$ Среднее значение квадрата отклонения от среднего (в статистике эту величину называют дисперсией) $$ D E=\frac{5}{8}\left(\frac{\hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{3 \hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}+\frac{1}{8}\left(\frac{5 \hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}=\frac{1}{2} \hbar^{2} \omega^{2}. $$ Поэтому стандартное отклонение энергии от среднего $\Delta E=\sqrt{D E}=\hbar \omega / \sqrt{2}$. Ответ $\bar{E} \pm \Delta E=\hbar \omega\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. 5} В статистической физике доказывается, что в равновесном состоянии системы при абсолютной температуре $T$ вероятность того, что энергия систем имеет одно из допустимых значений $E_{n}$, равна $w_{n}=C \cdot e^{=E_{n} / k T}$, где C - одинаковая для всех стационарных состояний постоянная величина. Рассмотрим систему нейтронов в постоянном однородном магнитном поле с индукцией B, имеющую температуру T. Найдите среднее значение энергии взаимодействия нейтрона с полем и ее стандартное отклонение от среднего при $T=0,48 \frac{e \hbar B}{m_{p} k}$. Спин нейтрона равен $1 / 2$, его гиромагнитное отношение равно $\gamma \cdot \mu_{\Omega} \equiv \gamma \frac{e \hbar}{2 m_{p}}$, где $\gamma \approx-1,91$, а величину $\mu_{\Omega} \equiv \frac{e \hbar}{2 m_{p}}$ называют ядерным магнетоном. Решение Проекция спина нейтрона на направление индукции магнитного поля принимает значения $\pm 1 / 2$. Поэтому у него допустимы два значения энергии взаимодействия с магнитным полем $E_{1,2}= \pm \gamma \frac{e \hbar B}{4 m_{p}} \approx \mp 0,48 \cdot \frac{e \hbar B}{m_{p}}$. Вероятности реализации этих значений $w_{1,2} \approx C \cdot \exp \left( \pm 0,48 \cdot \frac{e \hbar B}{m_{p} k T}\right) \equiv C \cdot e^{ \pm z}$ (где $\mathrm{z} \approx 1$ ), и мы знаем, что одно из них наверняка реализуется, то есть $w_{1}+w_{2}=C\left(e^{z}+e^{-z}\right)=1$. Отсюда находим $C=\frac{1}{e^{z}+e^{-z}}$. Таким образом $w_{1,2} \approx \frac{e^{ \pm z}}{e^{z}+e^{-z}}$, и среднее значение энергии $$ \bar{E}=w_{1} E_{1}+w_{2} E_{2}=-z k T \frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}} \approx-0,48 \frac{e^{2}-1}{e^{2}+1} \frac{e \hbar B}{m_{p}} \approx-0,37 \frac{e \hbar B}{m_{p}}. $$ Дисперсия энергии $$ D E=w_{1}\left(E_{1}-\bar{E}\right)^{2}+w_{2}\left(E_{2}-\bar{E}\right)^{2} \approx \frac{4 e^{2}}{\left(e^{2}+1\right)^{2}}\left(0,48 \frac{e \hbar B}{m_{p}}\right)^{2}, $$ и $\Delta E \approx \frac{0,96 e}{e^{2}+1} \frac{e \hbar B}{m_{p}} \approx 0,32 \frac{e \hbar B}{m_{p}}$. Ответ $\bar{E} \pm \Delta E \approx \frac{e \hbar B}{m_{p}}(-0,37 \pm 0,32)$. 6} В решетке некоторого материала создана электронная ловушка, в которой «пойманный» электрон движется свободно внутри шара радиуса $R=0,2$ нм. Спектр разрешенных энергия электрона внутри ловушки для состояний с нулевым орбитальным моментом описывается формулой $E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m R^{2}} n^{2}$, где $n=1,2,3 \ldots$ В ловушке создано однородное магнитное поле с индукцией $B=345,5$ Тл. Определите разность энергий $\Delta E$ основного и низшего возбужденного состояний электрона (то есть состояния с минимальной возможной энергией и следующего за ним по энергии). Считайте, что энергия движения электрона внутри ловушки практически не зависит от направления его спина. Решение Для начала найдем величину энергии электрона в ловушке явно: $E_{n}=E_{1} \cdot n^{2}$, где $E_{1}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m R^{2}} \approx 9,4$ эВ. В соответствии с условием, полная энергия электрона в стационарном состоянии есть сумма $E_{n}$ и энергии его взаимодействия с магнитным полем $E_{B}=2 \mu_{0} B \cdot s_{z}= \pm \mu_{0} B$, причем $\mu_{0} B \approx 20$ мэВ. Здесь учтено, что разрешенные значения проекции спина электрона $s_{z}= \pm \frac{1}{2}$. Ясно, что возбуждение движения электрона (то есть увеличение $n$ ) требует значительно большей энергии, чем переворот спина. Поэтому основное состояние электрона в ловушке соответствует $n=1$ и $s_{z}=-1 / 2$, и его энергия $E_{\text {оси }}=E_{1}-\mu_{0} B$, а низшее возбужденное $-n=1$ и $s_{z}=+1 / 2\left(E_{\text {нв }}=E_{1}+\mu_{0} B\right)$. Итак, $\Delta E=2 \mu_{0} B \approx 40$ мэВ. Ответ $\Delta E=2 \mu_{0} B \approx 40$ мэВ.