Квантовые законы и физика микромира

Задача 4

Условие

Пусть одномерный гармонический осциллятор находится в состоянии квантовой суперпозиции стационарных состояний, в котором он с вероятностью \frac{5}{8} находится в основном состоянии (n=0) , с вероятностью \frac{1}{4} - в низшем возбужденном состоянии (n=1 ) и с вероятностью \frac{1}{8}- в состоянии с n=2 . Найдите среднее значение энергии осциллятора и стандартное отклонение от этого среднего. Уровни энергии линейного осциллятора определяются формулой E_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right) .

Решение

Среднее значение энергии \bar{E}=\frac{5}{8} \frac{\hbar \omega}{2}+\frac{1}{4} \frac{3 \hbar \omega}{2}+\frac{1}{8} \frac{5 \hbar \omega}{2}=\hbar \omega . Среднее значение квадрата отклонения от среднего (в статистике эту величину называют дисперсией) D E=\frac{5}{8}\left(\frac{\hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{3 \hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}+\frac{1}{8}\left(\frac{5 \hbar \omega}{2}-\hbar \omega\right)^{2}=\frac{1}{2} \hbar^{2} \omega^{2}. Поэтому стандартное отклонение энергии от среднего \Delta E=\sqrt{D E}=\hbar \omega / \sqrt{2} .

Ответ \bar{E} \pm \Delta E=\hbar \omega\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) .

Задача 5

Условие

В статистической физике доказывается, что в равновесном состоянии системы при абсолютной температуре T вероятность того, что энергия систем имеет одно из допустимых значений E_{n} , равна w_{n}=C \cdot e^{=E_{n} / k T} , где C - одинаковая для всех стационарных состояний постоянная величина. Рассмотрим систему нейтронов в постоянном однородном магнитном поле с индукцией B, имеющую температуру T. Найдите среднее значение энергии взаимодействия нейтрона с полем и ее стандартное отклонение от среднего при T=0,48 \frac{e \hbar B}{m_{p} k} . Спин нейтрона равен 1 / 2 , его гиромагнитное отношение равно \gamma \cdot \mu_{\Omega} \equiv \gamma \frac{e \hbar}{2 m_{p}} , где \gamma \approx-1,91 , а величину \mu_{\Omega} \equiv \frac{e \hbar}{2 m_{p}} называют ядерным магнетоном.

Решение

Проекция спина нейтрона на направление индукции магнитного поля принимает значения \pm 1 / 2 . Поэтому у него допустимы два значения энергии взаимодействия с магнитным полем E_{1,2}= \pm \gamma \frac{e \hbar B}{4 m_{p}} \approx \mp 0,48 \cdot \frac{e \hbar B}{m_{p}} . Вероятности реализации этих значений w_{1,2} \approx C \cdot \exp \left( \pm 0,48 \cdot \frac{e \hbar B}{m_{p} k T}\right) \equiv C \cdot e^{ \pm z} (где \mathrm{z} \approx 1 ), и мы знаем, что одно из них наверняка реализуется, то есть w_{1}+w_{2}=C\left(e^{z}+e^{-z}\right)=1 . Отсюда находим C=\frac{1}{e^{z}+e^{-z}} . Таким образом w_{1,2} \approx \frac{e^{ \pm z}}{e^{z}+e^{-z}} , и среднее значение энергии \bar{E}=w_{1} E_{1}+w_{2} E_{2}=-z k T \frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}} \approx-0,48 \frac{e^{2}-1}{e^{2}+1} \frac{e \hbar B}{m_{p}} \approx-0,37 \frac{e \hbar B}{m_{p}}. Дисперсия энергии D E=w_{1}\left(E_{1}-\bar{E}\right)^{2}+w_{2}\left(E_{2}-\bar{E}\right)^{2} \approx \frac{4 e^{2}}{\left(e^{2}+1\right)^{2}}\left(0,48 \frac{e \hbar B}{m_{p}}\right)^{2}, и \Delta E \approx \frac{0,96 e}{e^{2}+1} \frac{e \hbar B}{m_{p}} \approx 0,32 \frac{e \hbar B}{m_{p}} .

Ответ \bar{E} \pm \Delta E \approx \frac{e \hbar B}{m_{p}}(-0,37 \pm 0,32) .

Задача 6

Условие

В решетке некоторого материала создана электронная ловушка, в которой «пойманный» электрон движется свободно внутри шара радиуса R=0,2 нм. Спектр разрешенных энергия электрона внутри ловушки для состояний с нулевым орбитальным моментом описывается формулой E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m R^{2}} n^{2} , где n=1,2,3 \ldots В ловушке создано однородное магнитное поле с индукцией B=345,5 Тл. Определите разность энергий \Delta E основного и низшего возбужденного состояний электрона (то есть состояния с минимальной возможной энергией и следующего за ним по энергии). Считайте, что энергия движения электрона внутри ловушки практически не зависит от направления его спина.

Решение

Для начала найдем величину энергии электрона в ловушке явно: E_{n}=E_{1} \cdot n^{2} , где E_{1}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m R^{2}} \approx 9,4 эВ. В соответствии с условием, полная энергия электрона в стационарном состоянии есть сумма E_{n} и энергии его взаимодействия с магнитным полем E_{B}=2 \mu_{0} B \cdot s_{z}= \pm \mu_{0} B , причем \mu_{0} B \approx 20 мэВ. Здесь учтено, что разрешенные значения проекции спина электрона s_{z}= \pm \frac{1}{2} . Ясно, что возбуждение движения электрона (то есть увеличение n ) требует значительно большей энергии, чем переворот спина. Поэтому основное состояние электрона в ловушке соответствует n=1 и s_{z}=-1 / 2 , и его энергия E_{\text {оси }}=E_{1}-\mu_{0} B , а низшее возбужденное -n=1 и s_{z}=+1 / 2\left(E_{\text {нв }}=E_{1}+\mu_{0} B\right) . Итак, \Delta E=2 \mu_{0} B \approx 40 мэВ.

Ответ \Delta E=2 \mu_{0} B \approx 40 мэВ.

Пусть одномерный гармонический осциллятор находится в состоянии квантовой суперпозиции основного ( n = 0 ), и низшего возбужденного ( n = 1 ) состояний. Известно, что средняя энергия осциллятора в этом состоянии равна 0{,}75 \cdot \hbar\omega . С какой вероятностью при измерении энергии этого осциллятора может быть получено значение 1{,}5 \cdot \hbar\omega ? Ответ запишите в процентах, с точностью до целого числа.

Уровни энергии частицы массы m , помещенной в кубический ящик с непроницаемыми стенками с размерами L \times L \times L , определяются формулой E(n_x, n_y, n_z) = \frac{h^2}{8mL^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) , где n_x, n_y, n_z — числа длин полуволн, укладывающихся по каждому измерению ящика, пробегающие натуральные значения. Известно, что \frac{h^2}{mL^2} = 1{,}6 эВ. Частицу поместили в состояние, которое с вероятностью 25 \% отвечает (n_x, n_y, n_z) = (1, 1, 0) , с вероятностью 25 \% — (n_x, n_y, n_z) = (0, 1, 1) , и с вероятностью 50 \% — (n_x, n_y, n_z) = (0, 2, 0) . Найдите среднее значение энергии частицы в этом состоянии. Ответ запишите в эВ, с точностью до десятых.

Система нейтронов находится в постоянном и однородном магнитном поле, и состояние всех нейтронов одинаково. Спин нейтрона равен 1/2 , его гиромагнитное отношение равно \gamma \cdot \mu_N \equiv \gamma \frac{e\hbar}{2m_p} , где \gamma \approx -1{,}91 . Величина индукции поля B такова, что |\gamma| \frac{e\hbar B}{2m_p} = 0{,}25 мэВ. При этом средняя энергия взаимодействия нейтрона с магнитным полем \bar{E} = +0{,}1 мэВ. Найдите для этой системы стандартное отклонение энергии взаимодействия нейтрона с магнитным полем от среднего. Ответ запишите в мэВ, с точностью до целого значения.