Электрические взаимодействия. Напряжённость электрического поля.
Физика, 10 класс
Пример 9 Условие На нитях одинаковой длины, закреплённых вверху в одной точке, подвешены два шарика равных масс. Положительные заряды шариков равны q_{1} и q_{2} (рис. 7). Шарики находятся в равновеси...
Пример 9
Условие
На нитях одинаковой длины, закреплённых вверху в одной точке, подвешены два шарика равных масс. Положительные заряды шариков равны q_{1} и q_{2} (рис. 7). Шарики находятся в равновесии. Когда шарики погрузили в жидкий диэлектрик плотностью \rho_{\text{ж}} с диэлектрической проницаемостью \varepsilon , угол между нитями не изменился. Плотность вещества, из которого изготовлены шарики, равна \rho_{\text {т }} . Выразите \varepsilon через плотности жидкости и шариков.
Решение
Сначала рассмотрим случай, когда шарики находятся в равновесии в воздухе. На каждый из них действуют сила тяжести, сила натяжения нити, сила Кулона
F=\frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}.
Модули сил Кулона равны и направлены эти силы противоположно вдоль прямой, соединяющей центры шариков, поэтому угол \alpha отклонения каждой нити от вертикали один и тот же.
По второму закону Ньютона для любого из шариков
T \sin \alpha= \frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}} ; \quad T \cos \alpha=m g.
При делении уравнений друг на друга получим
\operatorname{tg} \alpha=\frac{k q_{1} q_{2}}{m g r^{2}}.
Здесь
r=2 l \sin \alpha
- расстояние между шариками.
После погружения шариков в диэлектрик плотностью \rho_{\text{ж}} на каждый из них, кроме указанных сил, действует сила Архимеда, модуль которой равен
F_{A}=\rho_{\text{ж}} g V=\rho_{\text{ж}} g \frac{m}{\rho_{\text{т}}}.
Направлена сила Архимеде вертикально вверх.
Учитывая, что нити разошлись на тот же угол, а сила Кулона уменьшилась в \varepsilon раз, запишем второй закон Ньютона для любого из шариков после его погружения в диэлектрик:
T \sin \alpha=\frac{k q_{1} q_{2}}{\varepsilon r^{2}} ; \quad T \cos \alpha=m g-\rho_{\text{ж}} g \frac{m}{\rho_{\text{т}}}=m g\left(1-\frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{т}}}\right).
После деления уравнений друг на друга получаем:
\operatorname{tg} \alpha=\frac{k q_{1} q_{2}}{m g \varepsilon r^{2}\left(1-\frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{т}}}\right)}.
Учитывая, что тангенсы равны, получаем
\frac{k q_{1} q_{2}}{m g r^{2}}=\frac{k q_{1} q_{2}}{m g \varepsilon r^{2}\left(1-\frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{т}}}\right)}.
Откуда после сокращения на \frac{k q_{1} q_{2}}{m g r^{2}} получим
1=\frac{1}{\varepsilon\left(1-\frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{т}}}\right.}.
Тогда
\varepsilon= \frac{\rho_{\text{т}}}{\left(\rho_{\text{т}}-\rho_{\text{ж}}\right)}.