Конденсаторы в цепи постоянного тока

Задача 1

Условие

На рисунке 1 показана схема электрической цепи. ЭДС источника тока 12 B, его внутреннее сопротивление 2 Ом, сопротивление резистора 1 Ом, электроёмкость конденсатора 2 мкФ. В начальном состоянии конденсатор не заряжен. Чему равен заряд конденсатора спустя некоторое время после замыкания ключа?

Решение

Напряжение на участке A B равно сумме напряжений на резисторе и конденсаторе U_{A B}=U_{C}+U_{R} . После полной зарядки конденсатора ток через него не течёт. Значит напряжение на резисторе равно нулю, а напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника тока \mathscr{E} . Тогда заряд конденсатора равен q=C U_{C}=C \mathscr{E}= 24 мкКл.

Задача 2

Условие

На рисунке 2 изображена схема электрической цепи, в которой ЭДС 24 \text{ В} , r=2 Ом, R=10 Ом, C=4 нФ. Чему равен заряд q конденсатора при замкнутом ключе?

Решение

Напряжение между обкладками конденсатора равно напряжению на резисторе U_{C}=U_{R} . По закону Ома для участка цепи U_{R}=I R . После полной зарядки конденсатора ток через него не течёт. Тогда сила тока, текущего через резистор, определяется по закону Ома для полной цепи I=\frac{\mathscr{E}}{R+r} . Тогда заряд конденсатора равен q=C U_{C}=\frac{C R \mathscr{E}}{R+r}=80 нКл.

Задача 3

Условие

На рисунке 3 изображена схема электрической цепи, в которой \mathscr{E}=6 \text{ В} , r=1 Ом, R_{1}=3 Ом, R_{2}=5 Ом, R_{3}=8 Ом, C=8 мкФ. Чему равен заряд конденсатора?

Решение

После полной зарядки конденсатора ток через него не течёт. Тогда сила тока, текущего в цепи через последовательно соединённые резисторы 1 и 3 , определяется по закону Ома для полной цепи

I=\frac{\mathscr{E}}{R_{1}+R_{3}+r}.

Ток через резистор 2 не течёт, поэтому напряжение между обкладками конденсатора равно напряжению на резисторе 3 . По закону Ома для участка цепи и учитывая, что при последовательном соединении сила тока равна в каждом элементе, получим:

U_{C}=U_{3}=I R_{3}=\frac{\mathscr{E} R_{3}}{R_{1}+R_{3}+r}.

Тогда заряд конденсатора равен

q=C U_{C}=\frac{\mathscr{E} R_{3} C}{R_{1}+R_{3}+r}=32 \text{ мкКл}.

Задача 4

Условие

Напряжение на концах участка цепи, изображённого на рисунке 4, равно 140 В. Известно, что C_{1}=2 мкФ, C_{2}=5 мкФ, R_{1}=10 Ом, R_{2}=20 Ом, R_{3}=40 Ом. Заряд какого из двух конденсаторов больше? Во сколько раз?

Решение

Резисторы соединены последовательно, поэтому по закону Ома для участка цепи

I_{\text {общ }}=I_{1}=I_{2}=I_{3}=\frac{U}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}.

Напряжение на конденсаторе 1 равно

U_{C 1}=I_{\text {общ }}\left(R_{1}+R_{2}\right)= \frac{U\left(R_{1}+R_{2}\right)}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}.

Заряд этого конденсатора равен

q_{1}=U_{C 1} C_{1}=\frac{U C_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}.

Напряжение на конденсаторе 2 равно

U_{C 2}=I_{\text {общ }}\left(R_{3}+R_{2}\right)= \frac{U\left(R_{3}+R_{2}\right)}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}.

Заряд этого конденсатора равен

q_{2}=U_{C 2} C_{2}=\frac{U C_{2}\left(R_{3}+R_{2}\right)}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}.

Тогда

\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{C_{2}\left(R_{3}+R_{2}\right)}{C_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}=5.

Заряд второго конденсатора в 5 раз больше, чем заряд первого.