Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)

1. Работа поля при перемещении заряда

Электрическое поле, создаваемое покоящимися электрическими зарядами, называют электростатическим.

Найдём выражение для работы, совершаемой однородным электростатическим полем при перемещении точечного заряда. Обозначим \vec{F} силу, действующую со стороны поля на точечный заряд q . Тогда совершаемая полем работа

A=F s \cos \alpha ,

где \alpha - угол между направлением силы и направлением перемещения \vec{s} . Согласно определению напряжённости поля

\vec{F}=q \vec{E},

поэтому получаем:

A=E q s \cos \alpha .

Если направление перемещения совпадает с направлением напряжённости поля, то работа поля по перемещению положительного заряда в электростатическом поле >0 . Если изменить знак заряда на противоположный, то знак работы поля тоже изменится. Если же точечный заряд перемещают перпендикулярно линиям напряжённости электрического поля, то работа поля по перемещению заряда равна нулю, не зависимо от знака заряда.

Пример 1

Условие

Рассмотрим перемещение положительного точечного заряда q в электрическом поле напряжённостью \vec{E} по сторонам квадрата A B C D , а также по его диагонали A C (рис. 1). Сторона квадрата равна a .

Тогда

A_{A B}=q E a; \quad A_{B C}=0; \quad A_{C D}=-q E a; \quad A_{D A}=0

Перемещение заряда из точки A в точку C можно выполнить несколькими способами. Например, по траектории A B C , тогда работа поля равна

A_{A B C}=q E a+0=q E a.

Если перемещать заряд по траектории A D C , тогда работа поля равна

A_{A D C}=0+q E a=q E a.

А если по диагонали A C , то

A_{A C}=q E a \sqrt{2} \cos 45^{\circ}=q E a \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}=q E a.

Как мы видим, работа по поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории.

Работа поля по перемещению заряда по траектории A B C D A , т. е. по замкнутой траектории, равна нулю.

Таким образом, работа электростатического поля по перемещению точечного заряда зависит только от начального и конечного положений заряда. Поэтому электрическая сила является консервативной (или потенциальной).

2. Потенциальная энергия поля точечного заряда

Поскольку работа электростатического поля по перемещению точечного заряда также зависит только от его начального и конечного положений, для заряда в электростатическом поле можно ввести понятие потенциальной энергии.

Напомню, что физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии: оно равно работе консервативных сил, взятой со знаком минус. Если работу по перемещению заряда

совершает электростатическое поле, то изменение потенциальной энергии заряда при его перемещении из точки 1 в точку 2 определяется формулой

W_{p 2}-W_{p 1}=-A_{\text {эл. }}.

Обратите внимание на обозначение энергии в электромагнетизме.

По теореме об изменении кинетической энергии

W_{k 2}-W_{k 1}=A_{\text {эл. }}.

Отсюда получаем

W_{p 2}-W_{p 1}=-\left(W_{k 2}-W_{k 1}\right) ,

т.е.

W_{p 2}+W_{k 2}=W_{p 1}+W_{k 1}.

Последнее соотношение выражает собой закон сохранения энергии: если на заряженную частицу (тело) действует только электростатическое поле, то сумма кинетической и потенциальной энергий частицы (тела) остаётся постоянной.

При рассмотрении движения заряженных частиц в электростатическом поле изменением потенциальной энергии частиц, обусловленным действием силы тяжести, обычно пренебрегают.

Потенциальная энергия заряда q , находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

W_{p}=\frac{k q Q}{r}.

Для одноименных зарядов q Q>0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов q Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой точечных зарядов, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия q , находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий каждого из зарядов.

3. Разность потенциалов (напряжение)

Отношение потенциальной энергии заряда в данной точке поля к величине этого заряда называют потенциалом электростатического поля \varphi в этой точке:

\varphi=\frac{W_{p}}{q}.

Тогда разность потенциалов между точками 1 и 2 равна работе поля A_{12} по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{A_{12}}{q}.

Единицей разности потенциалов в СИ является вольт:

1 \text{ В}=\frac{1 \text { Дж }}{1 \text { Кл }}.

Из выражения

\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{A_{12}}{q}

можно сделать вывод, что работа электрического поля по перемещению положительного заряда положительна, когда заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом.

Потенциал поля точечного заряда Q равен

\varphi=\frac{k q Q}{r q}=\frac{k Q}{r}.

Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

\varphi=\varphi_{1}+\varphi_{2}+\cdots+\varphi_{n}.

Разность потенциалов называют также напряжением и обозначают буквой U . Если известно напряжение U между точками 1 и 2, то работу поля A по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 можно найти по формуле A=q U .

Напряжённость \vec{E} - это силовая характеристика электрического поля в данной точке пространства, потому что она характеризует силу, действующую на заряд q , помещённый в эту точку:

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}.

А напряжение U - это энергетическая характеристика электростатического поля, потому что она характеризует работy A по перемещению заряда q из одной точки в другую:

A=q U.

Если положительный заряд q перемещается в однородном электростатическом поле вдоль линии напряжённости поля из точки 1 в точку 2 на расстояние d (рис. 2), то A=q E d и A=q U . Отсюда получаем U=q E . Тогда единицей напряжённости в СИ является также В/м.