Электрические взаимодействия. Напряжённость электрического поля.

Задача 4

Условие

Укажите на рисунке направление силы, действующей на заряд, помещённый в центр квадрата (рис. 4).

Решение

На заряд, помещённый в центр квадрата, со стороны каждого из зарядов, помещённых в углах квадрата, действуют равные по модулю силы Кулона равные по модулю F_{1}=\frac{k q^{2}}{r^{2}} , где r расстояние от вершины квадрата до его центра, равное половине длины диагонали квадрата. Если a - сторона квадрата, то по теореме Пифагора r=a \sqrt{2} .

Со стороны верхних зарядов на заряд, расположенный в центре квадрата, действуют силы отталкивания, направленные по диагоналям вниз, а со стороны нижних зарядов - силы притяжения, также направленные по диагоналям вниз. Тогда равнодействующая сил, действующих на заряд, расположенный в центре квадрата, направлена вертикально вниз, а её модуль равен

F=4 F_{1} \cos 45^{\circ}=4 \cdot \frac{k q^{2}}{r^{2}} \cos 45^{\circ}=4 \cdot \frac{k q^{2}}{2 a^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2} k q^{2}}{a^{2}}.

Задача 5

Условие

На рисунке 5 изображены положительные точечные заряды и точка A , которая находится на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды. Выразите модуль напряжённости поля, создаваемого обоими зарядами в точке A , через q, l и h .

Решение

По принципу суперпозиции полей

\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}.

Так как модули зарядов равны, и точка A равноудалена от обоих зарядов, то модули напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов, равны

E_{1}=E_{2}=\frac{k q}{h^{2}+l^{2}}.

Векторы напряжённостей направлены по диагонали, соединяющей каждый из зарядов с точкой А. Результирующий вектор \vec{E} направлен вертикально вверх, причём косинус угла между этим вектором и вертикалью равен

\cos \alpha=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+l^{2}}}.

Тогда

E=2 \frac{k q}{h^{2}+l^{2}} \cos \alpha=2 \frac{k q}{h^{2}+l^{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^{2}+l^{2}}}=\frac{2 k q h}{\sqrt{\left(h^{2}+l^{2}\right)^{3}}}.

Задача 6

Условие

Точечные заряды 10 нКл и -10 нКл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 1 м. Чему равен модуль напряжённости электрического поля в третьей вершине треугольника?

Решение

Сделаем пояснительный рисунок 6. По принципу суперпозиции полей:

\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}.

Так как модули зарядов равны, и точка A равноудалена от обоих зарядов, то модули напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов, равны

E_{1}=E_{2}=\frac{k|q|}{a^{2}}.

Углы равностороннего треугольника равны по 60^{\circ} каждый. Тогда угол между векторами \vec{E}_{1} и \vec{E}_{2} равен 120^{\circ} . Тогда по теореме косинусов

E_{A}=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-2 E_{1} E_{2} \cos 60^{0}}=\sqrt{2 E_{1}^{2}-E_{1}^{2}}=E_{1}=\frac{k|q|}{a^{2}}= \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot 10 \cdot 10^{-9}}{1^{2}}=90 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}.