Числовые последовательности и арифметические прогрессии: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 2.9 Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготавливала на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение.

1. Из формулировки задачи ясно, что речь идет об арифметической прогрессии. Мы знаем, что первый член этой прогрессии a_1 равен 62, а разность прогрессии d равна 14.

2. Ноябрь — 11-й месяц. Таким образом, требуется найти a_{11} . Воспользуемся для этого формулой общего члена арифметической прогрессии при n=11

a_{11} = a_1 + (11 - 1)d = 62 + 10\cdot14 = 202

Ответ: 202 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.10 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Мастерская выполнила в январе 44 заказа, а каждый следующий месяц увеличивала производительность труда на 11 заказов. Сколько заказов выполнила мастерская в декабре?

Решение.

1. Из формулировки задачи ясно, что речь идет об арифметической прогрессии. Мы знаем, что первый член этой прогрессии a_1 равен 44, а разность прогрессии d равна 11.

2. Декабрь — 12-й месяц. Таким образом, требуется найти a_{12} . Воспользуемся для этого формулой общего члена арифметической прогрессии

a_{12} = a_1 + (12 - 1)d = 44 + 11\cdot11 = 165

Ответ: 165 .

Задача 2.11 Найдите значение x , при котором числа x - 1 , 4x -3 , x^2 + 1 образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

1. Введём обозначения: a_1 = x - 1 , a_2 = 4x - 3 , a_3 = x^2 + 1 .

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = d . Составим уравнение и найдем из него x .

4x - 3 - (x - 1) = x^2 + 1 - (4x - 3) 3x - 2 = x^2 + 4 - 4x x^2 -7x + 6 = 0

Решая полученное квадратное уравнение, находим корни x = 6 или x = 1 . Поскольку у нас не было никаких ограничений на x , то оба этих корня подходят.

Можем проверить себя, подставив значения x :

1) x = 6

Арифметическая прогрессия: 5; 21; 37. d = 16

2) x = 1

Арифметическая прогрессия: 0; 1; 2. d = 1

Ответ: x = 1 или x = 6 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.12 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите значение x , при котором числа x + 1 , 2x + 1 , x^2 -3 образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

1. Введём обозначения. a_1 = x + 1 , a_2 = 2x + 1 , a_3 = x^2 - 3 .

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = d . Составим уравнение и найдем из него x .

2x + 1 - (x + 1) = x^2 - 3 - (2x + 1) x = x^2 - 4 - 2x x^2 -3x -4 = 0

Решая полученное квадратное уравнение, находим корни x = 4 или x = -1 . Поскольку у нас не было никаких ограничений на x , то оба этих корня подходят.

Можем проверить себя, подставив значения x :

1) x = 4

Арифметическая прогрессия: 5; 9; 13. d = 4

2) x = -1

Арифметическая прогрессия: 0; -1; -2. d = -1

Ответ: x = 4 или x = -1 .