Числовые последовательности и арифметические прогрессии: Часть 3
Математика, 9 класс
Задача 2.5 Известно, что у арифметической прогрессии a_3 = -2 и d = 3 . Найдите номер n члена a_n этой арифметической прогрессии, который равен 22. Решение. 1. Запишем формулу общего члена арифметичес...
Видео
Конспект
Задача 2.5 Известно, что у арифметической прогрессии a_3 = -2 и d = 3 . Найдите номер n члена a_n этой арифметической прогрессии, который равен 22.
Решение.
1. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии в общем виде:
a_{n} = a_1 + (n-1)d 2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_3 и a_n :
\begin{cases}
a_{3} = a_1 + (3-1)d = a_1 +2d \\
a_{n} = a_1 + (n-1)d
\end{cases} Преобразуем полученную систему: \begin{cases}
-2 = a_1 +6 \\
22 = a_1 +3(n-1)
\end{cases}
\begin{cases}
a_1 = -8\\
n = 11
\end{cases} Ответ: n = 11 .
Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.
Задача 2.6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Известно, что у арифметической прогрессии a_4 = -3 и d = 5 . Найдите номер n члена a_n этой арифметической прогрессии, который равен 47.
Решение.
1. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии в общем виде:
a_{n} = a_1 + (n-1)d 2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_4 и a_n :
\begin{cases}
a_{4} = a_1 + (4-1)d = a_1 +3d \\
a_{n} = a_1 + (n-1)d
\end{cases} Преобразуем полученную систему: \begin{cases}
-3 = a_1 + 15 \\
47 = a_1 +5(n-1)
\end{cases}
\begin{cases}
a_1 = -18\\
n = 14
\end{cases} Ответ: n = 14 .
Задача 2.7 Дана арифметическая прогрессия, которая задаётся формулой c_n = 11n - 78 . Найдите первый положительный член этой арифметической прогрессии.
Решение.
1. Найдём первый член данной арифметической прогрессии и её разность: c_1 = 11\cdot 1 - 78 = -67,\qquad d = c_2 - c_1 = 11\cdot2 - 78 + 67 = 11.
То же самое можно было бы получить как следствие простых преобразований с данной в условии формулой. c_n = 11n - 78 = - 78 + 11(n - 1) +11 = -67 + 11(n - 1) При сопоставлении полученной формулы с формулой общего члена получится то же самое: c_1 = -67 , d = 11 . Приведенные способы оказываются очень полезны в других задачах, они позволяют сходу определить первый член и разность арифметической прогрессии. Поэтому мы и разобрали их на простом примере, хотя конкретно в этой задаче можно обойтись и без этого.
2. Поскольку c_1 < 0 , а d > 0 , каждый следующий член будет больше предыдущего, и рано или поздно найдётся такой член прогрессии, который будет больше нуля. Теперь найдём номер первого положительного члена прогрессии. Это будет наименьшее натуральное значение n , удовлетворяющее неравенству c_n > 0 .
11n - 78 > 0
Решая это неравенство при данных условиях получим, что n = 8 .
3. Подставим n = 8 в формулу общего члена арифметической прогрессии. c_8 = 11\cdot8 - 78 = 10 Ответ: c_8 = 10 .
Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.
Задача 2.8 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Дана арифметическая прогрессия, которая задаётся формулой c_n = 93 - 7n . Найдите первый отрицательный член этой арифметической прогрессии.
Решение.
1. Найдём номер первого отрицательного члена прогрессии. Это будет наименьшее натуральное значение n , удовлетворяющее неравенству c_n < 0 .
93 - 7n < 0
Решая это неравенство при данных условиях получим, что n = 14 .
3. Подставим n = 14 в формулу общего члена арифметической прогрессии. c_{14} = 93 - 7\cdot14 = -5 Ответ: c_{14} = -5 .