Числовые последовательности и арифметические прогрессии: Часть 1

Видео

Конспект

Последовательности и прогрессии

Числовые последовательности

Семинар 1

С числовыми последовательностями мы часто встречаемся даже в нашей повседневной жизни. Например, набор натуральных чисел, записанных по порядку (1, 2, 3, 4...), образует последовательность.

Числовая последовательность — пронумерованное, или упорядоченное множество чисел, в котором доподлинно известно, какое число является первым, какое — вторым, и так далее.

Числовые последовательности обычно обозначаются следующим образом: x_{n}, \quad n = 1,2,3\ldots, где n — индекс элемента (члена) последовательности, то есть его номер в последовательности. При этом первый, второй, третий (и так далее) члены (элементы) последовательности обозначаются как x_{1} , x_{2} , x_{3} \ldots . Существует два основных способа задания последовательности. Первый из них — с помощью формулы общего члена последовательности, которая описывает функциональную зависимость между самими членами последовательности и их номерами. Каждый член последовательности — это значение функции, аргументом которой является натуральное число — номер данного члена последовательности.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1.1 Числовая последовательность задана формулой a_{n} = n^2 + 1 . Выпишите первые пять членов этой последовательности. Найдите её 50-ый член.

Решение.

Подставим в общую формулу, a_{n} = n^2 + 1 , вместо n соответствующий номер элемента последовательности, который нам требуется найти: \begin{array}{l}

a_1 = 1^2 + 1 = 2, \\

a_2 = 2^2 + 1 = 5,\\

a_3 = 3^2 + 1 = 10,\\

a_4 = 4^2 + 1 = 17,\\

a_5 = 5^2 + 1 = 26;\\

a_{50} = 50^2 + 1 = 2501.

\end{array}

Ответ: a_1 = 2 , a_2 = 5 , a_3 = 10 , a_4 = 17 , a_5 = 26 , a_{50} = 2501 .

Теперь попробуйте решить самостоятельно следующую аналогичную задачу. Если не получится — посмотрите её решение

. Задача 1.2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Числовая последовательность задана формулой a_{n} = -2n^2 - 1 . Выпишите первые пять членов этой последовательности. Найдите её 30-ый член.

Решение.

Подставим в общую формулу, a_{n} = -2n^2 - 1 , вместо n соответствующий номер элемента последовательности, который нам требуется найти: \begin{array}{l}

a_1 = -2\cdot 1^2 - 1 = -3,\\

a_2 = -2\cdot 2^2 - 1 = -9,\\

a_3 = -2\cdot 3^2 - 1 = -19,\\

a_4 = -2\cdot 4^2 - 1 = -33,\\

a_5 = -2\cdot 5^2 - 1 = -51;\\

a_{30} = -2\cdot 30^2 - 1 = -1801.

\end{array}

Ответ: a_1 = -3 , a_2 = -9 , a_3 = -19 , a_4 = -33 , a_5 = -51 , a_{30} = -1801 .

Задача 1.3 Числовая последовательность задана формулой a_{n} = -n^2 + 1 . Определите, являются ли членами этой последовательности числа -99 и -101.

Решение.

Подставим в общую формулу, a_{n} = -n^2 + 1 , вместо a_n число -99: -99 = -n^2 + 1, откуда n^2=100. Решая относительно n полученное уравнение, найдем n = 10 или n = -10 . Число n – это номер члена последовательности, который обязан быть натуральным числом. Таким образом, корень n = 10 нам подходит. Это означает, что число -99 является членом данной последовательности, и его номер равен 10 . Иными словами, a_{10} = -99 . Проводя аналогичные рассуждения для числа -101 , получим уравнение -101 = -n^2 + 1 , откуда n = \sqrt{102} или n = -\sqrt{102} . Номер n члена последовательности обязан быть натуральным числом. Ни один из полученных корней не является натуральным числом. Таким образом, число -101 не является членом данной последовательности.}

Ответ: число -99 является членом данной последовательности, число -101 не является членом данной последовательности.

Попробуйте решить следующую задачу самостоятельно, только после этого смотрите решение.

Задача 1.4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Числовая последовательность задана формулой a_{n} = n^2 - 31 . Определите, являются ли членами этой последовательности числа -91 и -6.

Решение.

Подставим в общую формулу, a_{n} = n^2 - 31 , вместо a_n число -91 и решим относительно n полученное уравнение при том условии, что n является натуральным числом. Имеем: -91 = n^2 -31, откуда n^2 = -60.

Это уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, число -91 не является членом данной последовательности.

Проводя аналогичные рассуждения для числа -6 , получим уравнение -6 = n^2 - 31 , откуда n = 5 или n = -5 . Номер n члена последовательности обязан быть натуральным числом. Таким образом, корень n = 5 нам подходит. Это означает, что число -6 является членом данной последовательности, и его номер равен 5 . Иными словами, a_{5} = -6 .

Ответ: число -91 не является членом данной последовательности, число -6 является членом данной последовательности.

Вторым способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором каждый последующий член a_{n+1} последовательности выражается через предыдущий ее член a_{n} , n=1,2,3,\ldots . Для задания числовой последовательности таким способом также требуется, чтобы был известен первый (как правило) член последовательности.

Рассмотрим пример, в котором последовательность будет задаваться именно рекуррентно.

Задача 1.5 Числовая последовательность задана формулой x_{n+1} = 1 - \cfrac{1}{4x_{n}} . Первый член этой последовательности равен 1. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

Решение.

1. По условию x_1 = 1 .

2. Последовательно вычислим следующие четыре члена последовательности по известной нам формуле x_{n+1} = 1 - \cfrac{1}{4x_{n}} . x_2 = 1 - \cfrac{1}{4x_{1}} = 1 - \cfrac{1}{4\cdot1} = \cfrac{3}{4} x_3 = 1 - \cfrac{1}{4x_{2}} = 1 - \cfrac{1}{4\cdot3/4} = \cfrac{2}{3} x_4 = 1 - \cfrac{1}{4x_{3}} = 1 - \cfrac{1}{4\cdot2/3} = \cfrac{5}{8} x_4 = 1 - \cfrac{1}{4x_{4}} = 1 - \cfrac{1}{4\cdot5/8} = \cfrac{3}{5} Ответ: x_1 = 1 , x_2 = \cfrac{3}{4} , x_3 = \cfrac{2}{3} , x_4 = \cfrac{5}{8} , x_5 = \cfrac{3}{5} .

Заметим, что для рекуррентно заданной числовой последовательности довольно трудоёмко вычислять её члены с большими номерами. Например, чтобы вычислить 50-ый член последовательности, нужно совершить 49 операций (вычислить все члены по порядку со 2 по 50). Иногда рекуррентно заданную последовательность можно записать через формулу общего члена, но это не всегда возможно. Однако в некоторых задачах рекуррентный способ задания последовательности всё же оказывается полезен.

Следующую задачу для начала попробуйте решить сначала самостоятельно.

Задача 1.6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Числовая последовательность задана формулой x_{n+1} = \sqrt{3x_{n} - 2} . Первый член этой последовательности равен \cfrac{11}{3} . Выпишите первые три члена этой последовательности.

Решение.

1. По условию x_1 = \cfrac{11}{3} .

2. Последовательно вычислим следующие два члена последовательности по известной нам формуле x_{n+1} = \sqrt{3x_{n} - 2} . x_2 = \sqrt{3x_{1} - 2} = \sqrt{3\cdot11/3 - 2} = 3 x_3 = \sqrt{3x_{2} - 2} = \sqrt{3\cdot3 - 2} = \sqrt{7} Ответ: x_1 = \cfrac{11}{3} , x_2 = 3 , x_3 = \sqrt{7} .