Числовые последовательности и арифметические прогрессии: Часть 2
Математика, 9 класс
Арифметические прогрессии Далее мы рассмотрим два наиболее важных примера числовых последовательностей, элементы которых обладают некоторыми значимыми свойствами и особым образом связаны между собой....
Видео
Конспект
Арифметические прогрессии
Далее мы рассмотрим два наиболее важных примера числовых последовательностей, элементы которых обладают некоторыми значимыми свойствами и особым образом связаны между собой. Эти две числовые последовательности — арифметическая и геометрическая прогрессии.
Начнём с арифметической прогрессии.
По определению, арифметическая прогрессия — это такая числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии.
a_{n+1} - a_n = d , \quad n = 1, 2, 3 \ldots
d - разность арифметической прогрессии
a_1 — первый член арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии сразу же можно получить рекуррентную форму задания арифметической прогрессии.
a_{n+1} = a_n + d , \quad n = 1, 2, 3 \ldots Из рекуррентной формулы задания арифметической прогрессии можно получить формулу общего члена арифметической прогрессии. Распишем первые несколько членов арифметической прогрессии, пользуясь рекуррентной формулой.
\begin{cases}
a_2 = a_1 + d \\
a_3 = a_2 + d \\
a_4 = a_3 + d \\
... \\
a_n = a_{n-1} + d
\end{cases}
Преобразуем нашу систему:
\begin{cases}
a_2 = a_1 + d \\
a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d\\
a_4 = a_3 + d = a_2 + 2d = a_1 +3d \\
... \\
a_n = a_{n-1} + d = a_{n-2} +2d = ... = a_1 + (n-1)d
\end{cases}
Таким образом, мы получили формулу общего члена арифметической прогрессии. Можно строго доказать, что она именно такая, используя метод математической индукции.
a_{n} = a_1 + (n-1)d , \quad n = 1, 2, 3 \ldots
Таким образом, чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать разность d и первый член a_1 этой арифметической прогрессии. Тогда все остальные её члены со всеми возможными номерами определятся однозначно.
Теперь рассмотрим несколько задач на формулу общего члена арифметической прогрессии.
Задача 2.1 Дана арифметическая прогрессия -22,5; -21... Найдите одиннадцатый член a_{11} и разность d этой арифметическая прогрессия.
Решение.
1. По условию a_1 = -22,5 , a_2 = -21 .
2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_2 и выразим из нее d :
a_{2} = a_1 + (2-1)d = a_1 +d
d = a_2 - a_1 = 1,5
3. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_{11} :
a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d
a_{11} = -22,5 + 10\cdot1,5 = -7,5
Ответ: a_{11} = -7,5 , d = 1,5 .
Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.
Задача 2.2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Дана арифметическая прогрессия 16,9; 15,6... Найдите десятый член a_{10} и разность d этой арифметической прогрессии.
Решение.
1. По условию a_1 = 16,9 , a_2 = 15,6 .
2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_2 и выразим из нее d :
a_{2} = a_1 + (2-1)d = a_1 +d
d = a_2 - a_1 = -1,3
3. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_{10} :
a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d
a_{10} = 16,9 - 9\cdot1,3 = 5,2
Ответ: a_{10} = 5,2 , d = -1,3 .
Задача 2.3 Найдите первый член a_{1} и разность d арифметической прогрессии, если a_4 = 1,8 и a_7 = 0,6 .
Решение.
1. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии в общем виде:
a_{n} = a_1 + (n-1)d 2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_4 и a_7 :
\begin{cases}
a_{4} = a_1 + (4-1)d = a_1 +3d \\
a_{7} = a_1 + (7-1)d = a_1 +6d
\end{cases} Преобразуем полученную систему: \begin{cases}
1,8 = a_1 +3d \\
0,6 = a_1 +6d
\end{cases}
\begin{cases}
d = -0,4\\
a_1 = 3
\end{cases} Ответ: a_{1} = 3 , d = -0,4 .
Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.
Задача 2.4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите первый член a_{1} и разность d арифметической прогрессии, если a_3 = -2,3 и a_8 = -0,8 .
Решение.
1. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии в общем виде:
a_{n} = a_1 + (n-1)d 2. Запишем формулу общего члена арифметической прогрессии для a_3 и a_8 :
\begin{cases}
a_{3} = a_1 + (3-1)d = a_1 +2d \\
a_{8} = a_1 + (8-1)d = a_1 +7d
\end{cases} Преобразуем полученную систему: \begin{cases}
-2,3 = a_1 +2d \\
-0,8 = a_1 +7d
\end{cases}
\begin{cases}
d = 0,3\\
a_1 = -2,9
\end{cases} Ответ: a_{1} = -2,9 , d = 0,3 .