Геометрическая прогрессия продолжение. Комбинированные задачи: Часть 1

Задачи на применение геометрической прогрессии и комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 3.25

Условие

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4\,\text{мг} . За каждые 30\,\text{мин} масса колонии увеличивается в 3 раза. Найти массу колонии через 2\,\text{ч} после начала эксперимента.

Решение

Два часа содержат четыре промежутка по 30\,\text{мин}

2\,\text{ч} = 4 \cdot 30\,\text{мин}

В начальный момент масса колонии равна m_{1} = 4\,\text{мг} . Последовательно получаем

m_{2} = 3m_{1} = 12\,\text{мг}

m_{3} = 3m_{2} = 36\,\text{мг}

m_{4} = 3m_{3} = 108\,\text{мг}

m_{5} = 3m_{4} = 324\,\text{мг}

Величины m_{1},m_{2},m_{3},m_{4},m_{5} образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 3 .

За 2\,\text{ч} проходит четыре промежутка по 30\,\text{мин} , поэтому от первого члена прогрессии нужно сделать четыре шага. Следовательно, требуется найти не четвертый, а пятый член прогрессии:

m_{5} = m_{1}q^{4}

Подставим значения: m_{5} = 4 \cdot 3^{4} = 4 \cdot 81 = 324\,\text{мг}

Ответ 324\,\text{мг} .

Задача 3.26

Условие

В ходе \beta -распада радиоактивного изотопа A каждые 8\,\text{мин} половина его атомов без потери массы преобразуется в атомы стабильного изотопа B . В начальный момент времени масса изотопа A составляла 160\,\text{мг} . Найти массу образовавшегося изотопа B через 40\,\text{мин} после начала наблюдения.

Решение

В начальный момент m(A) = 160\,\text{мг},\quad\quad m(B) = 0\,\text{мг}.

Каждые 8\,\text{мин} половина оставшегося изотопа A превращается в изотоп B . За 40\,\text{мин} проходит пять промежутков по 8\,\text{мин}

\frac{40}{8} = 5

Последовательно масса изотопа A изменяется следующим образом:

160 \rightarrow 80 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5\,\text{мг}

Соответственно, за отдельные промежутки времени образуется

80,\ 40,\ 20,\ 10,\ 5\,\text{мг}

изотопа B . Поэтому через 40\,\text{мин} его масса равна: m(B) = 80 + 40 + 20 + 10 + 5 = 155\,\text{мг}.

Эту задачу можно решить с помощью геометрической прогрессии. Массы вновь образующегося изотопа B образуют геометрическую прогрессию:

b_{1} = 80,\quad\quad q = \frac{1}{2}

За 40\,\text{мин} происходит пять превращений, поэтому необходимо найти сумму первых пяти членов:

S_{5} = b_{1}\frac{1 - q^{5}}{1 - q}

S_{5} = 80 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{5}}{1 - \frac{1}{2}} = 80 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 80 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = 155\,\text{мг}

Есть и более простой способ. Масса оставшегося изотопа A также образует геометрическую прогрессию a_{1} = 160,\quad\quad q = \frac{1}{2}.

За 40\,\text{мин} происходит пять уменьшений массы в 2 раза. Поскольку начальная масса уже является первым членом прогрессии, после пяти промежутков получаем шестой член:

a_{6} = a_{1}q^{5}

a_{6} = 160\left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \frac{160}{32} = 5\,\text{мг}

Поскольку превращение A в B происходит без потери массы, суммарная масса остается равной 160\,\text{мг} . Следовательно, m(B) = 160 - 5 = 155\,\text{мг}.

Важно различать два подхода: для массы вновь появляющегося изотопа B складываются пять членовгеометрической прогрессии, а для оставшейся массы A находится шестой член, поскольку первый член соответствует начальному моменту времени.

Ответ 155\,\text{мг} .

Задача 3.27

Условие

Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если к каждому из них прибавить соответственно 1 , 1 , 4 и 13 , то образуется арифметическая прогрессия. Найти исходные четыре числа.

Решение

Пусть первый член геометрической прогрессии равен b_{1} , а ее знаменатель — q . Тогда четыре числа имеют вид:

b_{1},\quad\quad b_{1}q,\quad\quad b_{1}q^{2},\quad\quad b_{1}q^{3}

После прибавления заданных чисел получаем:

b_{1} + 1,\quad\quad b_{1}q + 1,\quad\quad b_{1}q^{2} + 4,\quad\quad b_{1}q^{3} + 13

Эти числа образуют арифметическую прогрессию, поэтому разности соседних членов равны.

Приравняем разность второго и первого членов к разности третьего и второго:

b_{1}q + 1 - \left( b_{1} + 1 \right) = b_{1}q^{2} + 4 - \left( b_{1}q + 1 \right)

Отсюда

b_{1}(q - 1) = b_{1}q(q - 1) + 3

Аналогично приравняем разность четвертого и третьего членов к разности второго и первого:

b_{1}q^{3} + 13 - \left( b_{1}q^{2} + 4 \right) = b_{1}q + 1 - \left( b_{1} + 1 \right)

Получаем

b_{1}q^{2}(q - 1) + 9 = b_{1}(q - 1)

Во всех выражениях величина b_{1} встречается в произведении с (q - 1) . Сделаем замену p = b_{1}(q - 1).

Тогда система принимает вид

\left\{ \begin{matrix}

p = pq + 3 \\

pq^{2} = p - 9

\end{matrix} \right.\

Из первого уравнения

p(1 - q) = 3

Из второго

p\left( q^{2} - 1 \right) = - 9

p\left( 1 - q^{2} \right) = 9

p(1 - q)(1 + q) = 9

По формуле (3) величина p(1 - q) = 3 , поэтому

3(1 + q) = 9

1 + q = 3

q = 2

Теперь найдем p

p(1 - 2) = 3

p = - 3

Так как

p = b_{1}(q - 1)

то

b_{1}(2 - 1) = - 3

b_{1} = - 3

Следовательно, исходная геометрическая прогрессия

- 3,\quad\quad - 6,\quad\quad - 12,\quad\quad - 24

Проверим условие. После прибавления соответственно 1 , 1 , 4 и 13 получаем

- 3 + 1 = - 2

- 6 + 1 = - 5

- 12 + 4 = - 8

- 24 + 13 = - 11

Числа

- 2,\quad\quad - 5,\quad\quad - 8,\quad\quad - 11

образуют арифметическую прогрессию с разностью d = - 3

Ответ - 3,\ - 6,\ - 12,\ - 24 .