Геометрическая прогрессия продолжение. Комбинированные задачи: Часть 2

Задача 4.2

Условие

Три отличных от нуля числа составляют арифметическую прогрессию, а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

Решение

Пусть три числа арифметической прогрессии имеют вид

a_{2} - d,\quad\quad a_{2},\quad\quad a_{2} + d

Такая запись удобна, поскольку первый и третий члены симметричны относительно среднего. Их квадраты

\left( a_{2} - d \right)^{2},\quad\quad a_{2}^{2},\quad\quad\left( a_{2} + d \right)^{2}

образуют геометрическую прогрессию. Для трех последовательных членов геометрической прогрессии отношение второго к первому равно отношению третьего ко второму

\frac{a_{2}^{2}}{\left( a_{2} - d \right)^{2}} = \frac{\left( a_{2} + d \right)^{2}}{a_{2}^{2}}

Перемножая крест-накрест, получаем

a_{2}^{4} = \left( a_{2} - d \right)^{2}\left( a_{2} + d \right)^{2}

Используем формулу разности квадратов

\left( a_{2} - d \right)\left( a_{2} + d \right) = a_{2}^{2} - d^{2}

Следовательно,

a_{2}^{4} = \left( a_{2}^{2} - d^{2} \right)^{2}

Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые

a_{2}^{4} = a_{2}^{4} - 2a_{2}^{2}d^{2} + d^{4}

d^{4} - 2a_{2}^{2}d^{2} = 0

Выносим d^{2} за скобки и раскроем сумму квадратов

d^{2}\left( d^{2} - 2a_{2}^{2} \right) = 0

d^{2}\left( d + a_{2}\sqrt{2} \right)(d - a_{2}\sqrt{2}) = 0

Отсюда возможны три случая:

d = 0

d = - a_{2}\sqrt{2}

d = a_{2}\sqrt{2}

Знаменатель геометрической прогрессии квадратов равен

q = \frac{a_{2}^{2}}{\left( a_{2} - d \right)^{2}}

1) Случай d=0

Исходная арифметическая прогрессия постоянна: все три числа одинаковы. Их квадраты также одинаковы, поэтому q = 1. Хотя этот случай тривиален, условие задачи его не запрещает.

2) Случай d= -a_2\sqrt{2}

q = \frac{a_{2}^{2}}{\left( a_{2} + a_{2}\sqrt{2} \right)^{2}} = \left( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \right)^{2} = \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} \right)^{2} =

= 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}

3) Случай d=a_2\sqrt{2}

q = \frac{a_{2}^{2}}{\left( a_{2} - a_{2}\sqrt{2} \right)^{2}} = \frac{1}{\left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2}} = \left( \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 3 + 2\sqrt{2}

Таким образом, получены три возможных значения знаменателя

q = 1,\quad\quad q = 3 - 2\sqrt{2},\quad\quad q = 3 + 2\sqrt{2}

Два нетривиальных значения взаимно обратны

\left( 3 + 2\sqrt{2} \right)\left( 3 - 2\sqrt{2} \right) = 9 - 8 = 1

Это соответствует тому, что одну и ту же геометрическую прогрессию можно рассматривать в двух направлениях: в сторону возрастания или в сторону убывания ее членов. Поскольку в условии не сказано, является исходная арифметическая прогрессия возрастающей, убывающей или постоянной, необходимо указать все возможные значения q .

Ответ 1;\ 3 - 2\sqrt{2};\ 3 + 2\sqrt{2} .

Задача 4.3

Условие

Найти трехзначное положительное число, цифры которого различны и образуют убывающую геометрическую прогрессию, если цифры числа, меньшего данного на 200 , образуют арифметическую прогрессию.

Решение

Обозначим искомое трехзначное число через \overline{abc} , где a , b , c — его цифры

\overline{abc} = 100a + 10b + c

Цифры a,b,c образуют убывающую геометрическую прогрессию. Удобно рассмотреть их в обратном порядке — c,b,a . Тогда получим возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем q > 1

b = cq

a = cq^{2}

При этом a,b,c — целые числа от 0 до 9 , причем a \neq 0 . Нужно перебрать все возможные геометрические прогрессии, состоящие из трех различных цифр.

1) Целый знаменатель q = 2

Возможны последовательности

1,\ 2,\ 4

2,\ 4,\ 8

Им соответствуют исходные трехзначные числа

421\quad\quad\text{и}\quad\quad 842

Проверяем первое 421 - 200 = 221 . Цифры 2,2,1 не образуют требуемую арифметическую прогрессию, поэтому число 421 не подходит.

Проверяем второе 842 - 200 = 642.\ Цифры 6,4,2 образуют арифметическую прогрессию с разностью d = - 2. Следовательно, 842 — подходящее число.

Однако необходимо проверить, что других вариантов нет. Если начать с цифры 3 , то последовательность имела бы вид

3,\ 6,\ 12

а 12 уже не является цифрой. Поэтому других вариантов при q = 2 нет.

2) Целый знаменатель q = 3

Единственная возможная последовательность цифр

1,\ 3,\ 9

Ей соответствует число

931

Проверяем 931 - 200 = 731. Цифры 7,3,1 не образуют арифметическую прогрессию, поэтому 931 не подходит.

Если начинать с 2 , то получим

2,\ 6,\ 18

что выходит за пределы однозначных чисел.

Знаменатели q \geq 4 также невозможны: даже если начать с 1 , третий член будет не меньше

1 \cdot 4^{2} = 16

то есть перестанет быть цифрой.

3) Рациональный нецелый знаменатель

Важно, что если конечная геометрическая прогрессия состоит из целых чисел, ее знаменатель не обязательно должен быть целым: он может быть рациональным.

Пусть q = \frac{m}{n},\ где m,n\mathbb{\in N} , причем дробь \frac{m}{n} несократима. Так как прогрессия c,b,a возрастающая, имеем q > 1 , поэтому m > n .

Из равенств

b = c\frac{m}{n}

a = c\frac{m^{2}}{n^{2}}

следует: чтобы a было целым числом, цифра c должна делиться на n^{2} . Это более сильное ограничение, чем требование целочисленности b .

Случай n = 1 соответствует уже рассмотренным целым значениям q , поэтому далее n \geq 2 .

Пусть n = 2 . Тогда c должно делиться на n^{2} = 4.\ Возможны цифры c = 4 и c = 8 .

Если c = 8 , уже при минимальном возможном нецелом знаменателе

q = \frac{3}{2}

получаем

b = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12

что не является цифрой. Поэтому c = 8 не подходит.

Пусть c = 4 . Поскольку m > n = 2 , минимально возможное значение m = 3

q = \frac{3}{2}

Тогда

c = 4

b = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6

a = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9

Получаем число 964. Проверяем 964 - 200 = 764. Цифры 7,6,4 не образуют арифметическую прогрессию, поэтому 964 не подходит.

При m = 4 получаем q = 2 — этот случай уже рассмотрен. При m \geq 5 второй член равен

b = 4 \cdot \frac{m}{2} = 2m \geq 10

поэтому других вариантов нет.

Пусть n = 3 . Тогда c должно делиться на n^{2} = 9.\ Единственная ненулевая подходящая цифра c = 9.\ Но поскольку q > 1 , следующий член b должен быть больше 9 , поэтому такой вариант невозможен.

При n \geq 4 имеем n^{2} \geq 16.\ Ненулевая цифра c не может делиться на число, не меньшее 16 , поэтому других случаев быть не может.

Таким образом, все возможные варианты геометрических прогрессий из трех различных цифр рассмотрены. Единственное число, для которого после вычитания 200 получаются цифры арифметической прогрессии

842 - 200 = 642

Ответ 842 .