Арифметическая прогрессия. Часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 2

Задача 2.13 В арифметической прогрессии (a_n) a_6 + a_{10} = 28 . Найдите a_8 .

Решение.

Отметим, что (a_n) — обозначение арифметической прогрессии как всей последовательности в целом, в то время как a_n – обозначение n-го члена арифметической прогрессии.

Можно было бы записать для a_6 , a_{10} , a_8 формулу общего члена, то есть выразить всё через a_1 . Но в данном случае гораздо удобнее выразить a_6 и a_{10} через a_8 .

\begin{cases}

a_6 = a_8 - 2d

\\

a_{10} = a_8 + 2d

\end{cases}

Выразим из этой системы a_8 .

a_8 = \cfrac{a_6 + a_{10}}{2} Отметим, что это равенство является частным случаем случаем свойства арифметической прогрессии. Каждый член арифметической прогрессии является полусуммой своих <<соседей>>, то есть элементов, равноудалённых от этого члена арифметической прогрессии. В данном случае a_8 удалён от a_6 и a_{10} на два <<шага>> (два элемента прогрессии). a_8 = 14

Ответ: a_8 = 14 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.14 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В арифметической прогрессии (a_n) a_5 + a_{11} = 2026 . Найдите a_8 .

Решение.

Выразим a_5 и a_{11} через a_8 .

\begin{cases}

a_5 = a_8 - 3d

\\

a_{11} = a_8 + 3d

\end{cases}

Выразим из этой системы a_8 .

a_8 = \cfrac{a_5 + a_{11}}{2} a_8 = 1013

Ответ: a_8 = 1013 .

Задача 2.15 Найдите количество всех двузначных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 2.

Решение.

1. Если какое-то число a нацело делится на 7, то это означает, что его можно представить в виде a = 7n , где n – целое число.

Если же какое-то число a делится на 7 с остатком 2, то это означает, что число a - 2 нацело делится на 7, то есть может быть представлено в виде a - 2 = 7n , где n – целое число. То есть число a может быть представлено в виде a = 7n + 2 .

Перебирая разные значения n мы будем получать разные значения a . Заметим, что такие числа a_n образуют арифметическую прогрессию (a_n) с разностью d = 7 .

2. Теперь будем решать данную задачу, учитывая тот факт, что числа, количество которых мы ищем, образуют арифметическую прогрессию. По условию, a_n – двузначное число, то есть 10 \leq a_n \leq 99 . Решим это двойное неравенство при условии, что n – целое число. 10 \leq 7n + 2 \leq 99 \cfrac{8}{7} \leq n \leq \cfrac{97}{7} 1 + \cfrac{1}{7} \leq n \leq 14 - \cfrac{1}{7}

Количество целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равно 12. Это числа от 2 до 13 включительно.

Ответ: 12 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.16 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите количество всех трёхзначных чисел, которые при делении на 15 дают остаток 3.

Решение.

1. Данная задача полностью аналогична предыдущей, таким образом, мы знаем, что числа, количество которых мы ищем, образуют арифметическую прогрессию. По условию, a_n – трёхзначное число, то есть 100 \leq a_n \leq 999 . Решим это двойное неравенство при условии, что n – целое число. 100 \leq 15n + 3 \leq 999 \cfrac{97}{15} \leq n \leq \cfrac{996}{15} 6 + \cfrac{7}{15} \leq n \leq 66 + \cfrac{2}{5}

Количество целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равно 60. Это числа от 7 до 66 включительно.

Ответ: 60 .