Арифметическая прогрессия. Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

В задачах на арифметические прогрессии помимо задач на вычисление самих элементов прогрессии часто встречаются задачи, в которых требуется найти сумму некоторых членов прогрессии. Поэтому мы посвятим сейчас блок теории формуле вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии. Выведем её.

Пусть a_1, a_2, \ldots a_n — арифметическая прогрессия, где n — конечное натуральное число. Посчитаем S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n . Рассмотрим отдельно два случая: n — чётное, n — нечётное.

1) Пусть n — чётное, то есть n = 2k , где k — натуральное число. Запишем по порядку все члены прогрессии следующим образом: a_1, a_2, \ldots , a_{k}, a_{k + 1}, \ldots, a_n Теперь рассмотрим сумму a_k + a_{k + 1} . Она равняется конкретному числу s . Следующим шагом рассмотрим сумму a_{k-1} + a_{k + 2} . Из определения арифметической прогрессии следует, что a_{k-1} = a_k - d , a_{k+2} = a_{k+1} + d , где d — разность арифметической прогрессии. Таким образом, a_{k-1} + a_{k+2} = a_k - d + a_{k + 1} + d = a_k + a_{k+1} = s . Аналогично можно повторять эту операцию до того момента, пока мы не дойдём до суммы крайних членов прогрессии: a_k + a_{k+1} = a_{k-1} + a_{k+2} = \ldots = a_1 + a_n = s Всего таких пар членов прогрессии k штук. Теперь выразим сумму S_n первых n членов прогрессии: S_n = k \cdot s = \cfrac{n}{2} \cdot s = \cfrac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} Итак, мы получили формулу суммы S_n первых n членов прогрессии для чётного n .

2) Пусть теперь n — нечётное число. Тогда мы можем его представить в виде n = 2k + 1 , где k — целое число и k \ge 0 . Запишем по порядку все члены прогрессии следующим образом: a_1, a_2, \ldots , a_{k-1}, a_{k}, a_{k + 1}, \ldots, a_n Член прогрессии a_k находится ровно посередине прогрессии. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, полученным нами ранее. a_k = \cfrac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} = \cfrac{a_{k-2} + a_{k+2}}{2} = \ldots = \cfrac{a_1+ a_n}{2} Таким образом, мы можем выразить сумму S_n : S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{k-1} + a_k + a_{k+1} + \ldots + a_n = a_k + k\cdot2a_k = (2k+1)\cdot a_k = \cfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

В итоге, мы получили, что для случая чётного и нечётного n формула для S_n одинакова:

Немного преобразуем формулу, выразив a_n через d . a_n = a_1 + (n-1)\cdot d , следовательно:

Задача 2.17 Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если она задана числами -3, -1, ….

Решение.

1. Из условия следует, что a_1 = -3 , a_2 = -1 , d = a_2 - a_1 = 2 .

2. Применим формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. S_{10} = \cfrac{2a_1 +d\cdot (n - 1)}{2} \cdot n = \cfrac{-6 +2\cdot 9}{2} \cdot 10 = 60 3. Можно было бы посчитать иначе — сначала вычислить a_{10} , а затем применить формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. a_{10} = a_1 + (n-1)\cdot d = -3 + 9\cdot 2 = 15 S_{10} = \cfrac{a_1 + a_{10}}{2}\cdot n = \cfrac{-3 + 15}{2}\cdot 10 = 60

Ответ: S_{10} = 60 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.18 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если она задана числами 24, 21, ….

Решение.

1. Из условия следует, что a_1 = 24 , a_2 = 21 , d = a_2 - a_1 = -3 .

2. Применим формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. S_{20} = \cfrac{2a_1 +d\cdot (n - 1)}{2} \cdot n = \cfrac{48 -3\cdot 19}{2} \cdot 20 = -90 3. Можно было бы посчитать иначе — сначала вычислить a_{20} , а затем применить формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. a_{10} = a_1 + (n-1)\cdot d = 24 - 19\cdot 3 = -33 S_{20} = \cfrac{a_1 + a_{20}}{2}\cdot n = \cfrac{24 - 33 }{2}\cdot 10 = -90

Ответ: S_{20} = -90 .