Геометрическая прогрессия. Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 5

Задача 3.15 Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно что S_5 = 2 , а S_{10} = 64 .

Решение.

1. Запишем формулу для суммы первых пяти и десяти членов прогрессии: \begin{cases}

S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q}\\

S_{10} = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^{10}}{1 - q}\\

\end{cases} Решая полученную систему уравнений, получаем квадратное уравнение относительно t = q^5 : t^2 - 32t + 31 = 0 . Корни этого уравнения t_1 = 31 , t_2 = 1 . Сделаем обратную замену. Тогда либо q = \sqrt[5]{31} , либо q = 1 . Вариант q = 1 не подходит, так как в таком случае не выполняется изначальное условие на суммы членов прогрессии. Значит, остаётся только один вариант — q = \sqrt[5]{31} .

Ответ: \sqrt[5]{31} .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 3.16 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно что S_3 = 54 , а S_{6} = 2 .

Решение.

1. Запишем формулу для суммы первых трёх и шести членов прогрессии: \begin{cases}

S_3 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^3}{1 - q}\\

S_{6} = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^{6}}{1 - q}\\

\end{cases} Решая полученную систему уравнений, получаем квадратное уравнение относительно t = q^3 : 27t^2 - t - 26 = 0 . Корни этого уравнения t_1 = -\cfrac{26}{27} , t_2 = 1 . Сделаем обратную замену. Тогда либо q = -\sqrt[3]{\cfrac{26}{27}} , либо q = 1 . Вариант q = 1 не подходит, так как в таком случае не выполняется изначальное условие на суммы членов прогрессии. Значит, остаётся только один вариант — q = -\sqrt[3]{\cfrac{26}{27}} .

Ответ: -\cfrac{\sqrt[3]{26}}{3} .

Задача 3.17 Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии S_3 = 26 , а сумма следующих трёх членов этой прогрессии S_{4-6} = 702 . Найдите сумму первых пяти членов прогрессии S_{5} .

Решение.

1. Распишем S_3 и S_{4-6} : \begin{cases}

S_3 = b_1 + b_2 + b_3\\

S_{4-6} = b_4 + b_5 + b_6\\

\end{cases} 2. Посмотрим, как связаны слагаемые из второй суммы со слагаемыми из первой. b_4 = b_1 \cdot q^3 , b_5 = b_2 \cdot q^3 , b_6 = b_3 \cdot q^3 . Таким образом: b_4 + b_5 + b_6 = (b_1 + b_2 + b_3) \cdot q^3 S_{4-6} = S_3 \cdot q^3 q = \sqrt[3]{\cfrac{S_{4-6}}{S_3}} = \sqrt[3]{\cfrac{702}{26}} = 3 3. Найдём b_1 : S_3 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^3}{1 - q} b_1 = S_3 \cdot \cfrac{1 - q}{1 - q^3} = 26 \cdot \cfrac{-2}{-26} = 2

4. Найдём S_5 : S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q} = 2 \cdot \cfrac{-242}{-2} = 242 Ответ: 242 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 3.18 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии S_4 = 720 , а сумма следующих четырёх членов этой прогрессии S_{5-8} = 45 . Найдите сумму первых пяти членов прогрессии S_{5} .

Решение.

1. Распишем S_4 и S_{5-8} : \begin{cases}

S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4\\

S_{5-8} = b_5 + b_6 + b_7 + b_8\\

\end{cases} 2. Посмотрим, как связаны слагаемые из второй суммы со слагаемыми из первой. b_5 = b_1 \cdot q^4 , b_6 = b_2 \cdot q^4 , b_7 = b_3 \cdot q^4 , b_8 = b_4 \cdot q^4 . Таким образом: b_5 + b_6 + b_7 + b_8 = (b_1 + b_2 + b_3 + b_4) \cdot q^4 S_{5-8} = S_4 \cdot q^4 q^4 = \cfrac{S_{5-8}}{S_4}= \cfrac{1}{16} q = \cfrac{1}{2} \quad или \quad q = -\cfrac{1}{2} Поскольку нет никаких ограничений, дополнительных условий, — придётся рассматривать оба случая. 1) q = \cfrac{1}{2}

Найдём b_1 : S_4 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^4}{1 - q} b_1 = S_4 \cdot \cfrac{1 - q}{1 - q^4} = 720 \cdot \cfrac{0,5}{0,9375} = 384

Найдём S_5 : S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q} = 384 \cdot \cfrac{0,96875}{0,5} = 744

1) q = -\cfrac{1}{2}

Найдём b_1 : S_4 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^4}{1 - q} b_1 = S_4 \cdot \cfrac{1 - q}{1 - q^4} = 720 \cdot \cfrac{1,5}{0,9375} = 1152

Найдём S_5 : S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q} = 1152 \cdot \cfrac{1,03125}{1,5} = 792 Ответ: 744 или 792 .

Следующие несколько задач будут посвящены бесконечной убывающей прогрессии.