Геометрическая прогрессия. Часть 2: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3.23 Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $9$, а сумма квадратов её членов равна $40,5$. Найдите знаменатель данной прогрессии $q$.

Решение.

1. По условию, $s = \cfrac{b_1}{1 - q} = 9$.

2. Пусть $s_2$ — сумма квадратов членов данной нам прогрессии.

$s = b_1 + b_2 + b_3 +\ldots$

$s_2 = {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 \ldots = {b_1}^2 + {b_1}^2\cdot q^2 + {b_1}^2\cdot q^4 + \ldots$

Таким образом, последовательность квадратов членов данной нам бесконечной убывающей геометрической прогрессии — это тоже бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен ${b_1}^2 $, а знаменатель равен $q^2$ (причём, поскольку $\mid q \mid < 1$, то и $\mid q^2 \mid < 1$).

3. Тогда $s_2 = \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 40,5$.

4. Составим систему уравнений: $$

\begin{cases}

\cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 40,5\\

\cfrac{b_1}{1 - q} = 9

\end{cases}

$$ Решая полученную систему, получаем, что $q = \cfrac{1}{3}$.

Ответ: $\cfrac{1}{3}$.

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 3.24 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $6,25$, а сумма квадратов её членов равна $26 \cfrac{1}{24}$. Найдите первый член данной прогрессии $b_1$.

Решение.

1. По условию, $s = \cfrac{b_1}{1 - q} = 6,25$.

2. Из предыдущей задачи нам известно, что последовательность квадратов членов данной нам бесконечной убывающей геометрической прогрессии — это тоже бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен ${b_1}^2 $, а знаменатель равен $q^2$.

3. Тогда $s_2 = \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 26 \cfrac{1}{24}$.

4. Составим систему уравнений: $$

\begin{cases}

\cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 6,25\\

\cfrac{b_1}{1 - q} = 26 \cfrac{1}{24}

\end{cases}

$$ Решая полученную систему, получаем, что $b_1 = 5$.

Ответ: $5$.