Геометрическая прогрессия. Часть 2

Задача 3.23 Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $9$, а сумма квадратов её членов равна $40,5$. Найдите знаменатель данной прогрессии $q$. Решение. 1. По условию, $s = \cfrac{b_1}{1 - q} = 9$. 2. Пусть $s_2$ — сумма квадратов членов данной нам прогрессии. $s = b_1 + b_2 + b_3 +\ldots$ $s_2 = {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 \ldots = {b_1}^2 + {b_1}^2\cdot q^2 + {b_1}^2\cdot q^4 + \ldots$ Таким образом, последовательность квадратов членов данной нам бесконечной убывающей геометрической прогрессии — это тоже бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен ${b_1}^2 $, а знаменатель равен $q^2$ (причём, поскольку $\mid q \mid 3. Тогда $s_2 = \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 40,5$. 4. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 40,5\\ \cfrac{b_1}{1 - q} = 9 \end{cases} $$ Решая полученную систему, получаем, что $q = \cfrac{1}{3}$. Ответ: $\cfrac{1}{3}$. Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.24 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $6,25$, а сумма квадратов её членов равна $26 \cfrac{1}{24}$. Найдите первый член данной прогрессии $b_1$. Решение. 1. По условию, $s = \cfrac{b_1}{1 - q} = 6,25$. 2. Из предыдущей задачи нам известно, что последовательность квадратов членов данной нам бесконечной убывающей геометрической прогрессии — это тоже бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен ${b_1}^2 $, а знаменатель равен $q^2$. 3. Тогда $s_2 = \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 26 \cfrac{1}{24}$. 4. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} \cfrac{{b_1}^2}{1 - q^2} = 6,25\\ \cfrac{b_1}{1 - q} = 26 \cfrac{1}{24} \end{cases} $$ Решая полученную систему, получаем, что $b_1 = 5$. Ответ: $5$.