Геометрическая прогрессия. Часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 4

Геометрические прогрессии

По определению, геометрическая прогрессия — это такая числовая последовательность, в которой каждый следующий член в одно и то же количество раз больше предыдущего. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии.

\cfrac{b_{n+1}}{b_n} = q , \quad n = 1, 2, 3 \ldots

q ~--- знаменатель геометрической прогрессии b_{1} ~--- первый член геометрической прогрессии Из определения геометрической прогрессии сразу же можно получить рекуррентную формулу задания геометрической прогрессии.

b_{n+1} = b_n \cdot q, \quad n = 1, 2, 3 \ldots Из рекуррентной формулы задания геометрической прогрессии можно получить формулу общего члена геометрической прогрессии. Распишем первые несколько членов геометрической прогрессии, пользуясь рекуррентной формулой.

\begin{cases}

b_2 = b_1 \cdot q \\

b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2\\

b_4 = b_3 \cdot q = b_1 \cdot q^3 \\

... \\

b_n = b_{n-1} \cdot q = b_1 \cdot q^{n -1}

\end{cases}

Таким образом, мы получили формулу общего члена геометрической прогрессии. Можно строго доказать, что она именно такая, используя метод математической индукции.

b_n = b_{n-1} \cdot q^{n -1} , \quad n = 1, 2, 3 \ldots

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать знаменатель q и первый член b_1 этой прогрессии.

Сформулируем и докажем одно из свойств геометрической прогрессии. Рассмотрим члены геометрической прогрессии b_{n-1} , b_n , b_{n+1} . \begin{cases}

b_{n + 1} = b_n \cdot q \\

b_{n - 1} = \cfrac{b_n}{q}\\

\end{cases}

Из этой системы следует, что \boxed{b_{n - 1} \cdot b_{n + 1} = b_n ^ 2}. Извлечём корень из обеих частей уравнения. \boxed{\mid b_n \mid = \sqrt{b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}}}. Таким образом, получаем, что модуль члена геометрической прогрессии b_n (за исключением первого) равен среднему геометрическому двух его ближайших соседей. При этом так же, как и в случае арифметической прогрессии мы можем распространить это свойство на более далёких соседей. \boxed{\mid b_n \mid = \sqrt{b_{n - k} \cdot b_{n + k}}}, при условии, что n - k \ge 1 , k — натуральное число.

Заметим, что если знаменатель прогрессии — положительное число, то все члены геометрической прогрессии одного знака. Если же знаменатель прогрессии — число отрицательное, то знаки членов прогрессии чередуются. В любом из этих случаев произведение соседей будет положительно, и арифметический корень из их произведения будет определён.

Если \mid q \mid < 1 , то геометрическая прогрессия называется бесконечной убывающей (под убыванием подразумевается уменьшение по модулю).

Теперь рассмотрим несколько задач на применение формулы общего члена и основного свойства геометрической прогрессии.

Задача 3.1 Дана геометрическая прогрессия (b_n) : -20;\, 2 \ldots . Найдите b_6 и запишите формулу n- го члена геометрической прогрессии.

Решение.

1. По условию b_1 = -20 , b_2 =2 . Найдём знаменатель геометрической прогрессии q . q = \cfrac{b_2}{b_1} = -0,1 .

2. Запишем формулу n- го члена данной геометрической прогрессии: b_n = b_1 \cdot q ^ {n - 1} b_n =-20 \cdot (-0,1) ^ {n - 1} 3. Теперь найдём b_6 : b_6 =-20 \cdot (-0,1) ^ {6 - 1} = 0,0002

Ответ: b_n =-20 \cdot (-0,1) ^ {n - 1} , b_6 = 0,0002 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 3.2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Дана геометрическая прогрессия (b_n) : 30;\, -3 \ldots . Найдите b_5 и запишите формулу n- го члена геометрической прогрессии.

Решение.

1. По условию b_1 = 30 , b_2 = -3 . Найдём знаменатель геометрической прогрессии q . q = \cfrac{b_2}{b_1} = -0,1 .

2. Запишем формулу n- го члена данной геометрической прогрессии: b_n = b_1 \cdot q ^ {n - 1} b_n = 30 \cdot (-0,1) ^ {n - 1} 3. Теперь найдём b_6 : b_5 = 30 \cdot (-0,1) ^ {5 - 1} = 0,003

Ответ: b_n = 30 \cdot (-0,1) ^ {n - 1} , b_5 = 0,003 .

Задача 3.3 Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n) , если b_5 = -\cfrac{1}{8} , q = 2 \sqrt{2} .

Решение.

1. Запишем формулу общего члена данной геометрической прогрессии для b_5 и b_7 : b_{5} = b_1 \cdot q ^ 4 b_{7} = b_1 \cdot q ^ 6 = b_1 \cdot q ^ 4 \cdot q^2 = b_5 \cdot q^2 = -\cfrac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2 = -1 Таким образом, мы получили, что b_7 = -1 . Заметим, что мы можем любые два члена геометрической прогрессии связать друг с другом, домножив один из них на знаменатель прогрессии столько раз, сколько шагов между этими членами.

Ответ: b_7 = -1 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 3.4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n) , если b_3 = \cfrac{1}{9} , q = -\sqrt{3} .

Решение.

1. Запишем формулу общего члена данной геометрической прогрессии для b_3 и b_7 : b_{3} = b_1 \cdot q ^ 2 b_{7} = b_1 \cdot q ^ 6 = b_1 \cdot q ^ 2 \cdot q^4 = b_3 \cdot q^4 = \cfrac{1}{9} \cdot 3 \cdot 3 = 1 Таким образом, мы получили, что b_7 = 1 .

Ответ: b_7 = 1 .