Арифметическая прогрессия. Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 3

Задача 2.25 Дана арифметическая прогрессия: 55; 51 \ldots . Найдите сумму всех положительных членов этой прогрессии.

Решение.

1. По условию a_1 = 55 , a_2 = 51 . Найдём разность арифметической прогрессии: d = a_2 - a_1 = -4 .

2. Первый член прогрессии — положительное число, разность — отрицательное число, следовательно, это убывающая прогрессия и в какой-то момент её члены станут отрицательными. Найдём такой номер n ( n — натуральное число), после которого все следующие члены прогрессии будут отрицательными (то есть номер её последнего положительного члена). a_n = a_1 + (n-1)\cdot d = 55 - (n -1)\cdot 4 = 59 - 4n > 0 Решая полученное неравенство, получим, что n < 14,75 . Поскольку мы ищем наибольшее натуральное значение n , n = 14 .

3. Таким образом, мы должны найти сумму первых 14 членов данной прогрессии S_{14} : a_{14} = a_1 + 13d = 55 - 13\cdot 4 = 3 S_{14} = \cfrac{a_1 + a_{14}}{2}\cdot 14 = \cfrac{ 55 + 3}{2}\cdot 14 = 406

Ответ: 406 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.26 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Дана арифметическая прогрессия: -63; -58 \ldots . Найдите сумму всех отрицательных членов этой прогрессии.

Решение.

1. По условию a_1 = -63 , a_2 = -58 . Найдём разность арифметической прогрессии: d = a_2 - a_1 = 5 .

2. Первый член прогрессии — отрицательное число, разность — положительное число, следовательно, это возрастающая прогрессия и в какой-то момент её члены станут положительными. Найдём такой номер n ( n — натуральное число), после которого все следующие члены прогрессии будут положительными (то есть номер её последнего отрицательного члена). a_n = a_1 + (n-1)\cdot d = -63 + (n -1)\cdot 5 = -68 + 5n < 0 Решая полученное неравенство, получим, что n < 13,6 . Поскольку мы ищем наибольшее натуральное значение n , n = 13 .

3. Таким образом, мы должны найти сумму первых 13 членов данной прогрессии S_{13} : a_{13} = a_1 + 12d = -63 + 12\cdot 5 = -3 S_{13} = \cfrac{a_1 + a_{13}}{2}\cdot 13 = \cfrac{ -63 -3}{2}\cdot 13 = -429

Ответ: -429 .

Задача 2.27 Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 7.

Решение.

1. Числа, кратные 7, можно представить в виде: a_n = 7n , n — натуральное. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим среди них только двузначные числа: 10 \leq a_n \leq 99 10 \leq 7n \leq 99 \cfrac{10}{7} \leq n \leq \cfrac{99}{7} 1 + \cfrac{3}{7} \leq n \leq 14 +\cfrac{1}{7} Таким образом, n = 2, 3, \ldots , 14 .

2. Мы ищем сумму членов арифметической прогрессии со 2 по 14 включительно. S_{2-14} = S_{14} - S_1 3. Найдём S_1 : S_1 = a_1 = 7 4. Найдём S_{14} : a_{14} = a_1 + 13d = 7 + 13\cdot 7 = 98 S_{14} = \cfrac{a_1 + a_{14}}{2}\cdot 14 = \cfrac{ 7 + 98}{2}\cdot 14 = 735 5. Найдём S_{2-14} : S_{2-14} = S_{14} - S_1 = 735 - 7 = 728

Ответ: 728 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.28 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3.

Решение.

1. Числа, которые при делении на 8 дают остаток 3, можно представить в виде: a_n = 8n + 3 , n — натуральное или 0. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим среди них только двузначные числа: 10 \leq a_n \leq 99 10 \leq 8n + 3 \leq 99 \cfrac{7}{8} \leq n \leq \cfrac{96}{8} \cfrac{7}{8} \leq n \leq 12 Таким образом, n = 1, 2, \ldots , 12 .

2. Мы ищем сумму членов арифметической прогрессии с 1 по 12 включительно. S_{12} : a_{12} = a_1 + 11d = 11 + 11\cdot 8 = 99 S_{12} = \cfrac{a_1 + a_{12}}{2}\cdot 12 = \cfrac{ 11 + 99}{2}\cdot 12 = 660

Ответ: 660 .

Задача 2.29 Известно, что в арифметической прогрессии (x_n) x_{13} = 10 . Найдите сумму первых 25 членов этой прогрессии S_{25} .

Решение.

1. Распишем S_{25} через x_1 и d : S_{25} = \cfrac{2x_1 + d(25-1)}{2}\cdot 25

2. Распишем x_{13} : x_{13} =x_1 + 12d 3. Выразим S_{25} через x_{13} : S_{25} = \cfrac{2x_1 + 24d}{2}\cdot 25 = x_{13}\cdot 25 = 10 \cdot 25 = 250

Ответ: 250 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.30 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Известно, что в арифметической прогрессии (x_n) x_{9} = 6 . Найдите сумму первых 17 членов этой прогрессии S_{17} .

Решение.

1. Распишем S_{17} через x_1 и d : S_{17} = \cfrac{2x_1 + d(17-1)}{2}\cdot 17

2. Распишем x_{9} : x_{9} =x_1 + 8d 3. Выразим S_{17} через x_{9} : S_{17} = \cfrac{2x_1 + 16d}{2}\cdot 17 = x_{9}\cdot 17 = 6 \cdot 17 = 102

Ответ: 102 .