Арифметическая прогрессия. Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.31 Известно, что в арифметической прогрессии (a_n) a_{1} = 111 , d = -6 . Какое наименьшее число членов прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была отрицательной?

Решение.

1. Распишем S_{n} через a_1 и d : S_{n} = \cfrac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n

2. Составим и решим неравенство S_n < 0 : \cfrac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n < 0 \cfrac{2\cdot 111 -6n + 6}{2}\cdot n < 0 114n - 3n^2 < 0 n \cdot (38 - n) < 0 Решая данное неравенство при условии, что мы ищем наименьшее натуральное n , получаем, что n = 39 .

Ответ: 39 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.32 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Известно, что в арифметической прогрессии (a_n) a_{1} = -100 , d = 8 . Какое наименьшее число членов прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была положительной?

Решение.

1. Распишем S_{n} через a_1 и d : S_{n} = \cfrac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n

2. Составим и решим неравенство S_n > 0 : \cfrac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n > 0 \cfrac{-2\cdot 100 +8n - 8}{2}\cdot n > 0 -104n + 4n^2 < 0 n \cdot (n - 26) < 0 Решая данное неравенство при условии, что мы ищем наименьшее натуральное n , получаем, что n = 27 .

Ответ: 27 .

Задача 2.33 Известно, что в арифметической прогрессии (a_n) a_{n} = -8 , d = -5 . Сумма первых n членов этой прогрессии S_n = 145 . Найдите номер n и первый член прогрессии a_1 .

Решение.

1. Распишем S_{n} и a_n : \begin{cases}

a_n = a_1 + (n-1)d

\\

S_n = \cfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n

\end{cases}

\begin{cases}

-8 = a_1 - 5\cdot (n-1)

\\

145 = \cfrac{a_1 - 8}{2}\cdot n

\end{cases} Решая полученную систему, получим квадратное уравнение относительно n : 5n^2 - 21 - 290 = 0 . Поскольку n - натуральное число, получаем, что n = 10 . Далее находим первый член прогрессии a_1 = 5 \cdot n - 13 = 50 - 13 = 37 .

Ответ: a_1 = 37 , n = 10 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.34 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Известно, что в арифметической прогрессии (a_n) a_{n} = 59 , d = 3 . Сумма первых n членов этой прогрессии S_n = 610 . Найдите номер n и первый член прогрессии a_1 .

Решение.

1. Распишем S_{n} и a_n : \begin{cases}

a_n = a_1 + (n-1)d

\\

S_n = \cfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n

\end{cases}

\begin{cases}

59 = a_1 +3\cdot (n-1)

\\

610 = \cfrac{a_1 + 59}{2}\cdot n

\end{cases} Решая полученную систему, получим квадратное уравнение относительно n : 3n^2 - 121n + 1220 = 0 . Поскольку n - натуральное число, получаем, что n = 20 . Далее находим первый член прогрессии a_1 = 62 - 3 \cdot n = 62 - 60 = 2 .

Ответ: a_1 = 2 , n = 20 .