Геометрическая прогрессия. Часть 1

Выведем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Но прежде вспомним формулы сокращённого умножения. $a^2 - b^2 = (a-b)\cdot (a + b)$ $a^3 - b^3 = (a-b)\cdot (a^2 + ab + b^2)$ $a^4 - b^4 = a^4 +a^3b - a^3b + a^2b^2 - a^2b^2 +ab^3 - ab^3- b^4 = a^3 \cdot (a - b) + a^2b \cdot (a - b) + ab^2 \cdot(a - b) + b^3 \cdot (a-b) =(a-b)\cdot (a^3 + a^2b + ab^2 +b^3)$ Применяя такой же приём, как и для разности четвёртых степеней, мы получим общий вид — выражение для разности $n-$ых степеней. Рассмотрим частный случай этой формулы при $a = 1$, $b = q$: $1 - q^n = (1 - q) \cdot (1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1})$ Теперь перейдём к выводу формулы суммы геометрической прогрессии. Пусть есть геометрическая прогрессия $(b_n)$, знаменатель которой равен $q$. Нам известно, что $b_2 = b_1 \cdot q$; $b_3 = b_1 \cdot q^2$; …$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Теперь составим сумму $S_n$ и преобразуем её с помощью полученной формулы для $1 - q^n$ при условии, что $q \neq 1$: $S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n = b_1 + b_1\cdot q + b_1 \cdot q^2 +\ldots b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot (1 + q + q^2 + \ldots +q^{n-1}) = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^n}{1 - q}$ $\boxed{S_n = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^n}{1 - q}}$ Теперь поговорим о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Напомним, что: Геометрическая прогрессия называется бесконечной убывающей, если $\mid q \mid Запишем формулу общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Если мы будем увеличивать $n$, то число $q^{n-1}$ будет становиться все меньше и меньше (поскольку $\mid q \mid $$s = \lim_{n \to \infty}S_n = \cfrac{b_1}{1-q}$$ Теперь рассмотрим задачи на вычисление суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии и суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Задача 3.11 Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, знаменатель которой $q = -2$, а второй член $b_2 = 6$. Решение. 1. Запишем формулу для суммы первых пяти членов прогрессии: $$S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q}$$ 2. Найдём $b_1$: $$b_1 = \cfrac{b_2}{q} = \cfrac{6}{-2} = -3$$ 3. Найдём $S_5$: $$S_5 = -3 \cdot \cfrac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} = -33$$ 4. Можем проверить себя и просуммировать первые пять членов прогрессии, не используя формулу из пункта 1: $$S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = -3 + 6 - 12 + 24 - 48 = -33$$ Ответ: $-33$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.12 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, знаменатель которой $q = 3$, а второй член $b_3 = -18$. Решение. 1. Запишем формулу для суммы первых пяти членов прогрессии: $$S_5 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^5}{1 - q}$$ 2. Найдём $b_1$: $$b_1 = \cfrac{b_3}{q^2} = \cfrac{-18}{3^2} = -2$$ 3. Найдём $S_5$: $$S_5 = -2 \cdot \cfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = -242$$ Ответ: $-242$ . Задача 3.13 Найдите первый член геометрической прогрессии, если известно что знаменатель $q = 0,5$, а $S_4 = 15$. Решение. 1. Запишем формулу для суммы первых четырёх членов прогрессии: $$S_4 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^4}{1 - q}$$ Теперь выразим из неё $b_1$: $$b_1 = S_4 \cdot \cfrac{1 - q}{1 - q^4} = 15 \cdot \cfrac{1-0,5}{1-0,5^4} = 8$$ 2. Можем проверить себя. Посчитаем $b_2$, $b_3$, $b_4$: $b_2 = 4$; $b_3 = 2$; $b_4 = 1$. Теперь найдём сумму первых четырех членов прогрессии. $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$ — сходится с изначальными данными. Ответ: $8$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.14 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите второй член геометрической прогрессии, если известно что знаменатель $q = \cfrac{1}{3}$, а $S_4 = 40$. Решение. 1. Запишем формулу для суммы первых четырёх членов прогрессии: $$S_4 = b_1 \cdot \cfrac{1 - q^4}{1 - q}$$ Теперь выразим из неё $b_1$: $$b_1 = S_4 \cdot \cfrac{1 - q}{1 - q^4} = 40 \cdot \cfrac{1-\cfrac{1}{3}}{1-(\cfrac{1}{3})^4} = 27$$ 2. Теперь вычислим $b_2$: $b_2 = b_1 \cdot q = 27 \cdot \cfrac{1}{3} = 9$. Ответ: $9$ .