Геометрическая прогрессия. Часть 1

Задача 3.5 Найдите шестой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_5 = -\cfrac{4}{9}$, $b_7 = -4$. Решение. 1. Заметим, что $b_6$ и $b_7$ являются соседями $b_5$. Тогда, по доказанному ранее свойству $\mid b_6 \mid = \sqrt{b_{5} \cdot b_{7}} = \sqrt{\cfrac{16}{9}} = \cfrac{4}{3}$. Таким образом, либо $b_6 = \cfrac{4}{3}$, либо $b_6 = -\cfrac{4}{3}$. Знак $b_6$ зависит от того, какого знака знаменатель геометрической прогрессии. Но данных задачи недостаточно для того, чтобы это определить. Поэтому остаётся два возможных значения $b_6$. Ответ: $b_6 = \cfrac{4}{3}$ или $b_6 = -\cfrac{4}{3}$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите пятый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = 2$, $b_6 = \cfrac{1}{2}$. Решение. 1. Заметим, что $b_4$ и $b_6$ являются соседями $b_5$. Тогда, по доказанному ранее свойству $\mid b_5 \mid = \sqrt{b_{4} \cdot b_{6}} = \sqrt{1} =1$. Таким образом, либо $b_5 = 1$, либо $b_5 = -1$. Знак $b_5$ зависит от того, какого знака знаменатель геометрической прогрессии. Но данных задачи недостаточно для того, чтобы это определить. Поэтому остаётся два возможных значения $b_5$. Ответ: $b_5 = 1$ или $b_5 = -1$ . Задача 3.7 Найдите седьмой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = -2$, $b_4 = -6$. Решение. 1. $b_4 = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q \cdot q^2 =b_2 \cdot q^2 $ Выразим отсюда $q$. $\mid q \mid = \sqrt{\cfrac{b_4}{b_2}}$, значит, либо $q = \sqrt{3}$, либо $q = -\sqrt{3}$ 2. $b_7 = b_4 \cdot q^3$. Тогда либо $b_7 = 18\sqrt{3}$, либо $b_7 = -18\sqrt{3}$. Ответ: $b_7 = 18\sqrt{3}$ или $b_7 = -18\sqrt{3}$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.8 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите восьмой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = -4$, $b_6 = -8$. Решение. 1. $b_6 = b_4 \cdot q^2 $ Выразим отсюда $q$. $\mid q \mid = \sqrt{\cfrac{b_6}{b_4}}$, значит, либо $q = \sqrt{2}$, либо $q = -\sqrt{2}$ 2. $b_8 = b_6 \cdot q^2 = -8 \cdot 2 = -16$. Поскольку для вычиcления $b_8$ нам требуется подставлять $q^2$, то у нас получается только один ответ. Ответ: $b_8 = -16$ . Задача 3.9 Найдите $x$ такой, что числа $x+1$, $4x$, $16x-12$ составляют геометрическую прогрессию (являются тремя последовательными членами прогрессии). Решение. 1. По условию $b_1 = x+1$, $b_2 = 4x$, $b_3 = 16x-12$. 2. Воспользуемся свойством геометрической прогрессии: ${b_2}^2 = b_1 \cdot b_3$: $$(4x)^2 = (x+1)\cdot (16x-12)$$ $$4x = 12$$ $$x = 3$$ 3. На всякий случай проверим себя. Действительно, при $x=3$ $b_1 = 4$, $b_2 = 12$, $b_3 =36$ — эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 3$. Ответ: $3$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.10 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите $x$ такой, что числа $x-2$, $3x$, $9x+30$ образуют геометрическую прогрессию (являются тремя последовательными членами прогрессии). Решение. 1. По условию $b_1 = x-2$, $b_2 = 3x$, $b_3 = 9x + 30$. 2. Воспользуемся свойством геометрической прогрессии: ${b_2}^2 = b_1 \cdot b_3$: $$(3x)^2 = (x-2)\cdot (9x+30)$$ $$12x = 60$$ $$x = 5$$ 3. На всякий случай проверим себя. Действительно, при $x=5$ $b_1 = 3$, $b_2 = 15 $, $b_3 =75$ — эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 5$. Ответ: $5$ .