Геометрическая прогрессия. Часть 2

Задача 3.19 Геометрическая прогрессия задана первыми членами: $1$; $\cfrac{2}{3}$; $\cfrac{4}{9}$ …. Найдите сумму данной бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Решение. 1. По условию $b_1 = 1$, $b_2 = \cfrac{2}{3}$, $b_3 = \cfrac{4}{9}$. Найдём знаменатель этой прогрессии. $q = \cfrac{b_3}{b_2} = \cfrac{b_2}{b_1} = \cfrac{2}{3}$. Поскольку $\mid q \mid $$s = \cfrac{b_1}{1 - q} = \cfrac{1}{1-\cfrac{2}{3}} = 3$$ Ответ: $3$ . Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.20 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Геометрическая прогрессия задана первыми членами: $2$; $1,5$; $\cfrac{9}{8}$ …. Найдите сумму данной бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Решение. 1. По условию $b_1 = 2$, $b_2 = \cfrac{3}{2}$, $b_3 = \cfrac{9}{8}$. Найдём знаменатель этой прогрессии. $q = \cfrac{b_3}{b_2} = \cfrac{b_2}{b_1} = \cfrac{3}{4}$. Поскольку $\mid q \mid $$s = \cfrac{b_1}{1 - q} = \cfrac{2}{1-\cfrac{3}{4}} = 8$$ Ответ: $8$ . Перед тем как решать следующие задачи, поговорим о полезном приёме, который позволяет переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные. Пусть у нас есть число $\cfrac{1}{9}$. Это обыкновенная дробь. Будем делить 1 на 9 столбиком. Получим, что обыкновенная дробь $\cfrac{1}{9}$ представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби $0,(1)$. То есть $\cfrac{1}{9} = 0,(1)$. Аналогичным образом, например, обыкновенная дробь $\cfrac{1}{7}$ представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби $0,(142857)$. То есть $\cfrac{1}{7} = 0,(142857)$. Мы разобрались с тем, как переводить обыкновенные дроби в бесконечные периодические десятичные, теперь надо понять, как выполнять обратный перевод — из бесконечных периодических десятичных в обыкновенные. Начнём с $\cfrac{1}{9}$. $$\cfrac{1}{9} = 0,111\ldots = 0,1 + 0,01 + 0,001 + \ldots$$ Поразрядное разложение числа $0,(1)$ — это сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии $q = 0,1$, $\mid q \mid $$0,(12) = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + \ldots$$ $$b_1 = 0,12, \quad q = 0,001$$ $$0,(12) = s = \cfrac{b_1}{1 - q} = \cfrac{0,12}{1-0,01} = \cfrac{12}{99} = \cfrac{4}{33}$$ Аналогичным образом мы можем переводить любые бесконечные периодические дроби в обыкновенные. Заметим, что обыкновенная дробь в несократимом виде, получающаяся как следствие вычисления суммы бесконечной убывающей прогрессии, всегда будет иметь один и тот же вид. Знаменатель — число, каждый разряд которого равен 9, а количество разрядов равно длине периода бесконечной периодической дроби, которую мы переводим. Числитель — число, образованное самим периодом. Всё это выполнено только при том условии, если период начинается сразу после запятой. Например, $0,(253) = \cfrac{253}{999}$. Если же период начинается не сразу после запятой, то есть 2 варианта: либо все цифры перед периодом равны нулю, и тогда мы должны будем просто поделить полученное число на 10 в соответствующей степени, либо же перед периодом есть конечное количество ненулевых цифр. В таком случае можно представить дробь в виде суммы конечной и бесконечной десятичной дроби, последнюю при этом можно вычислить описанным выше методом. Задача 3.21 Представьте в виде обыкновенной дроби число $1,6(21)$. Решение. $$1,6(21) = 1,6 + 0,0(21) = \cfrac{16}{10} + 0,(21) \cdot \cfrac{1}{10} = \cfrac{8}{5} + \cfrac{1}{10} \cdot \cfrac{21}{99} = \cfrac{8}{5} + \cfrac{1}{10} \cdot \cfrac{7}{33} = \cfrac{8 \cdot 66 + 7}{330} = \cfrac{535}{330} = \cfrac{107}{66}$$ Ответ: $1,6(21) = \cfrac{107}{66}$. Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно. Задача 3.22 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Представьте в виде обыкновенной дроби число $2,5(14)$. Решение. $$2,5(14) = 2,5 + 0,0(14) = \cfrac{5}{2} + 0,(14) \cdot \cfrac{1}{10} = \cfrac{5}{2} + \cfrac{1}{10} \cdot \cfrac{14}{99} = \cfrac{5 \cdot 5 \cdot 99 + 14}{990} = \cfrac{2489}{990}$$ Ответ: $2,5(14) = \cfrac{2489}{990}$ .