Арифметическая прогрессия. Часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 2.19 Найдите сумму первых 8 членов арифметической прогрессии (x_n) , если x_3 = -4 , x_5 = 2 .

Решение.

1. Запишем формулу суммы первых 8 членов арифметической прогрессии. S_{8} = \cfrac{x_1 + x_{8}}{2}\cdot 8 Но нам неизвестны x_1 и x_8 . Попробуем их выразить, зная x_3 и x_5 : \begin{cases}

x_3 = x_1 + 2d = -4\\

x_5 = x_1 + 4d = 2

\end{cases} Из системы получаем, что d = 3 . Тогда вычислим x_1 и x_8 . x_1 = x_3 - 2d =-4 -6 = -10 x_8 = x_1 + 7d = -10 + 21 = 11 S_{8} = \cfrac{x_1 + x_{8}}{2}\cdot 8 = \cfrac{-10 + 11}{2}\cdot 8 = 4

Ответ: S_{8} = 4 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.20 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии (x_n) , если x_2 = 7 , x_4 = -1 .

Решение.

1. x_4 - x_2 = 2d , следовательно d = \cfrac{-1-7}{2} = -4

2. Вычислим x_1 и x_{10} . x_1 = x_2 - d = 7 + 4 = 11 x_{10} = x_1 + 9d = 11 - 36 = -25 3. Теперь вычислим сумму первых 10 членов арифметической прогрессии по формуле: S_{10} = \cfrac{x_1 + x_{10}}{2}\cdot 10 = \cfrac{11 - 25}{2}\cdot 10 = -70

Ответ: S_{10} = -70 .

Задача 2.21 Дана арифметическая прогрессия, задающаяся формулой a_n = 2n + 1 . Найдите сумму членов этой прогрессии с 11 по 20 включительно.

Решение.

1. Ясно, что искомая сумма равна разности S_{20} - S_{10} = S_{11-20} .

2. Вычислим S_{20}. S_{20} = \cfrac{a_1 + a_{20}}{2}\cdot 20 = \cfrac{2+1+40+1}{2}\cdot 20 = 440 3. Вычислим S_{10}. S_{10} = \cfrac{a_1 + a_{10}}{2}\cdot 10 = \cfrac{2+1+20+1}{2}\cdot 10 = 120 4. S_{11-20} = S_{20} - S_{10} = 440 - 120 = 320

Ответ: S_{11-20} = 320 .

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.22 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Дана арифметическая прогрессия, задающаяся формулой a_n = 3n - 7 . Найдите сумму членов этой прогрессии с 7 по 16 включительно.

Решение.

1. Ясно, что искомая сумма равна разности S_{16} - S_{6} = S_{7-16} .

2. Вычислим S_{16}. S_{20} = \cfrac{a_1 + a_{16}}{2}\cdot 16 = \cfrac{3-7+48-7}{2}\cdot 16 = 296 3. Вычислим S_{6}. S_{6} = \cfrac{a_1 + a_{6}}{2}\cdot 6 = \cfrac{3 -7+18-7}{2}\cdot 6 = 21 4. S_{7-16} = S_{16} - S_{6} = 296 - 21 = 275

Ответ: S_{7-16} = 275 .

Задача 2.23 В первый день магазин продал 12 кг сахара, а в каждый следующий день продавал на 2 кг сахара больше, чем в предыдущий. Сколько сахара продал магазин за 8 дней?.

Решение.

1. Из формулировки задачи ясно, что речь идёт об арифметической прогрессии, у которой a_1 = 12 , d = 2 . В задаче нас просят найти сумму первых 8 членов этой арифметической прогрессии, то есть S_8 .

2. Найдём сначала a_8 : a_8 = a_1 + (8-1)d = 12 + 7\cdot 2 = 26 3. Теперь вычислим S_8 : S_{8} = \cfrac{a_1 + a_{8}}{2}\cdot 8 = \cfrac{12 + 26}{2}\cdot 8 = 152

Ответ: 152 кг.

Следующую задачу попробуйте сначала решить самостоятельно.

Задача 2.24 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) За первую секунду движения тело прошло 18 метров, а в каждую следующую секунду проходило на 3 метра больше, чем в предыдущую. Найдите путь, пройденный телом за первые 6 секунд движения.

Решение.

1. Из формулировки задачи ясно, что речь идёт об арифметической прогрессии, у которой a_1 = 18 , d = 3 . В задаче нас просят найти сумму первых 6 членов этой арифметической прогрессии, то есть S_6 .

2. Найдём сначала a_6 : a_6 = a_1 + (6-1)d = 18 + 5\cdot 3 = 33 3. Теперь вычислим S_6 : S_{6} = \cfrac{a_1 + a_{6}}{2}\cdot 6 = \cfrac{18 + 33}{2}\cdot 6 = 153

Ответ: 153 м.