Разные задачи. Часть 4: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 29

Условие

В безветренную погоду на озере была проведена серия испытаний радиоуправляемой модели катера с бензиновым двигателем, в ходе которых выяснилось, что при скорости v_1 = 5.00 км/ч путевой расход топлива составляет \lambda_1 = 20.0 г/км, а при скорости v_2 = 15.0 км/ч расход равен \lambda_2 = 40.0 г/км. Запас топлива на борту модели M = 100 г.

Выведите зависимость путевого расхода топлива \lambda от скорости v .

Какое максимальное время \tau_x может работать двигатель у неподвижной модели?

При какой скорости модели v_0 путевой расход топлива минимален и каково его значение \lambda_0 ? Полученные результаты должны быть найдены с погрешностью, не превышающей 1%.

На какое максимальное расстояние L_0 и за какое время \tau_0 сможет уплыть модель?

Какие значения \tau_1 может принимать время прохождения моделью расстояния L_1 = 3 км?

Примечание. Считайте, что при работе двигателя массовый расход топлива \mu (г/с) линейно зависит от мощности силы сопротивления, а сила сопротивления пропорциональна скорости модели относительно воды. Модель движется равномерно и при любой скорости ее осадка не меняется.

Решение

При движении со скоростью v расстояние L катер преодолевает за время \tau = \frac{L}{v} . При этом мощность сил сопротивления равна N = Fv = kv^2 , где k - размерный коэффициент. Так как по условию массовый расход топлива линейно зависит от мощности сил сопротивления \mu = \mu_0 + \alpha N , где \mu_0 и \alpha - размерные коэффициенты, то линейный расход топлива равен \lambda = \frac{\mu \tau}{L} = \alpha v + \frac{\mu_0}{v} .

Найдём константы \alpha и \mu_0 по известным значениям v_1, \lambda_1, v_2 и \lambda_2 . Для этого запишем уравнения для линейного расхода \lambda_1 = \alpha v_1 + \frac{\mu_0}{v_1} и \lambda_2 = \alpha v_2 + \frac{\mu_0}{v_2} . Решая систему, получим: \alpha = \frac{\lambda_1 v_1 - \lambda_2 v_2}{v_1^2 - v_2^2} = 2.5 \frac{г}{км^2} и \mu_0 = \frac{v_1 v_2 (\lambda_1 v_2 - \lambda_2 v_1)}{v_1^2 - v_2^2} = 37.5 \frac{г}{ч} . С учётом найденных размерных коэффициентов уравнение для линейного расхода приобретает вид: \lambda = 2.5v + \frac{37.5}{v} . График этой зависимости представлен на рисунке ниже.

51 В режиме холостого хода двигатель неподвижной модели сможет проработать \tau_x = \frac{M}{\mu_0} = 160 мин. Умножив полученное выражение для \lambda на v , получим квадратное уравнение (с размерными коэффициентами, полученными ранее)

2.5v^2 - \lambda v + 37.5 = 0, дискриминант которого обращается в ноль при \lambda_0 = 19.4 г/км, что соответствует v_0 = 3.87 км/ч.

Максимальное расстояние, на которое может уплыть модель, двигаясь с оптимальной скоростью, L_0 = \frac{M}{\lambda_0} = 5.2 км, и на его преодоление требуется время \tau_0 = \frac{L_0}{v_0} = 80 мин. Зависимость предельной дальности движения от скорости приведена на рисунке ниже.

52 Так как требуемое расстояние L_1 = 3 км меньше предельной дальности L_0 , то модель не обязана придерживаться оптимальной стратегии и может плыть быстрее или медленнее. Из ранее полученного квадратного уравнения 2.5V^2 - \lambda v + 37.5 = 0 с учетом \lambda = \frac{M}{L_1} = \frac{100}{3} г/км. Выбирая при решении больший корень, находим максимально допустимую скорость v_{11} = 12.1 км/ч, при которой еще хватает топлива на заданной дистанции L_1 , и получаем соответствующее ей минимально возможное время движения 15 мин. Большему корню v_{12} = 1.24 км/ч соответствует максимально возможное время движения 145 мин. Окончательно получаем \tau_1 \in [15 мин; 145 мин] .

Задача 30

Условие

Небольшое тело отпустили без начальной скорости в некоторой точке M гладкого изогнутого желоба. Оторвавшись от желоба в точке O , оно упало на пол в точке A (см. рисунок). С помощью построений и расчётов, покажите на рисунке положение точки M желоба, в которой тело было отпущено.

53 Каково расстояние (в условных единицах) от пола до точки M ?

Масштабы по осям рисунка даны в некоторых условных единицах.

Решение

Проведём касательную в нижней точке желоба O , а также горизонтальную линию через ту же точку. Из точки A проведём вертикальную линию, пересекающую касательную в точке B и горизонтальную линию – в точке C (см. рисунок).

54 Движение тела по вертикали после отрыва от желоба описывается уравнением

y = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}, где v_{0y} – проекция скорости тела на вертикальную ось в момент отрыва от желоба, начало координат находится в точке O , ось Y направлена вниз. На рисунке отрезок CB равен расстоянию, которое тело прошло бы вертикали за время падения t_0 , если бы не было ускорения свободного падения, а отрезок BA равен расстоянию, которое тело пролетело бы за то же время t_0 при свободном падении без начальной скорости. Кроме того, отрезок OB равен пути, которое тело, двигаясь с постоянной скоростью v_0 , прошло бы за время t_0 . Таким образом

AB = h = \frac{gt_0^2}{2}; \quad OB = l = v_0 t_0. Исключив из этих соотношений время падения t_0 , получим:

v_0^2 = \frac{gl^2}{2h}. Высоту H начальной точки над точкой O найдём из закона сохранения энергии:

\frac{mv_0^2}{2} = mgH. Отсюда:

H = \frac{l^2}{4h}. По рисунку находим:

h = 1, \quad l^2 = (CB)^2 + (OC)^2 = (1.5)^2 + (3)^2 = 11.25; H = \frac{11.25}{4} \approx 2.8.

Расстояние от точки M до пола равно L = 5.3 условных единиц.