Разные задачи. Часть 4: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 24

Условие

Два корабля движутся с постоянными и одинаковыми по модулю скоростями v_1 = v_2 = v . В некоторый момент расстояние между ними оказалось равным L , а их взаимное расположение таким, как показано на рисунке.

41 Определите минимальное расстояние между кораблями при их последующем движении.

Найдите время \tau , через которое корабли окажутся на минимальном расстоянии друг от друга.

В момент, когда корабль B пересекает линию движения корабля A , от борта корабля A отправляется катер, который должен доставить на корабль B пакет с важным сообщением.

Определите, через какое минимальное время \Delta t после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля B , если скорость u катера также равна v .

Решение

Для ответа на первый вопрос удобно выбрать систему отсчёта, связанную с одним из кораблей (например, A ). На рисунке ниже изображён вектор \vec{V} относительной скорости корабля.

42 Так как по условию v_1 = v_2 = v , из рисунка следует, что относительная скорость \vec{V} направлена под углом 30^\circ к линии, соединяющей корабли, и равна по модулю v . Для определения минимального расстояния между кораблями нужно опустить перпендикуляр из точки A на направление относительной скорости. Минимальное расстояние между кораблями при их дальнейшем движении есть длина l = AC = L \sin 30^\circ = L/2 опущенного перпендикуляра.

Двигаясь с относительной скоростью V = v , корабль B окажется на минимальном расстоянии от корабля A через время:

\tau = \frac{L \cos 30^\circ}{v} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{v}. Для ответа на третий вопрос изобразим относительное положение кораблей на море в тот момент, когда корабль B пересекает линию движения корабля A (см. рисунок ниже).

43 На этом рисунке точки A' и B' обозначают положения кораблей в начальный момент времени. Так как скорости кораблей и катера по модулю одинаковы, а угол между скоростями \vec{v}_1 и \vec{v}_2 равен 60^\circ , точка D встречи катера с кораблем B должна лежать в вершине равностороннего треугольника. Значит, v\Delta t = a/2 , где a – гипотенуза \triangle A'B'B , равная 2L/\sqrt{3} . Отсюда находим \Delta t :

\Delta t = \frac{a}{2v} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{L}{v}. Задача 25

Условие

Два куска пластилина с массами 3m и m брошены одновременно с горизонтальной поверхности Земли со скоростями v и 2v (см. рисунок), причём скорости кусков не находятся в одной вертикальной плоскости.

44 Скорость куска массой 3m составляет угол \beta = 45^\circ с вертикалью и угол \alpha = 60^\circ с прямой, проходящей через куски перед броском. Через некоторое время куски сталкиваются и слипаются.

С какой скоростью упали на Землю слипшиеся куски?

Решение

Направим оси x и y горизонтально, а ось z вертикально (см. рисунок).

45 Проекции на оси скорости куска массой 3m равны:

v_{1x} = v \cos \alpha = \frac{v}{2}, \quad v_{1z} = v \cos \beta = \frac{v}{\sqrt{2}}, \quad v_{1y} = \sqrt{v^2 - v_{1x}^2 - v_{1z}^2} = \frac{v}{2}. Поскольку куски пластилина столкнулись, начальные проекции их скоростей на оси y и z равны. Это легко понять, если рассмотреть их движение в системе отсчета, падающей вниз с ускорением g . В этой системе скорости кусков пластилина постоянны, значит их проекции на оси y и z должны совпадать. Следовательно,

v_{2y} = v_{1y} = v/2, \quad v_{2z} = v_{1z} = v/\sqrt{2}. Кусок пластилина массой m движется против направления оси x , следовательно

v_{2x} = -\sqrt{(2v)^2 - v_{2y}^2 - v_{2z}^2} = -\sqrt{13}v/2. Проекции скорости центра масс системы на оси:

\begin{cases}

\displaystyle v_{cx} = \frac{3mv_{1x} + mv_{2x}}{4m} = \frac{3 - \sqrt{13}}{8}v \\

\\

\displaystyle v_{cy} = \frac{3mv_{1y} + mv_{2y}}{4m} = \frac{v}{2} \\

\\

\displaystyle v_{cz} = \frac{3mv_{1z} + mv_{2z}}{4m} = \frac{v}{\sqrt{2}}

\end{cases} Скорость слипшихся кусков при падении равна скорости центра масс при бросании:

v_{пад} = v_c = \sqrt{v_{cx}^2 + v_{cy}^2 + v_{cz}^2} = \frac{v}{8} \sqrt{70 - 6\sqrt{13}} \approx 0.87v. Задача 26

Условие

На стержень радиусом r прочно насажен моток нерастяжимой липкой ленты внешним радиусом R (см. рисунок).

46 На этом же стержне на легкой нити висит груз массы m . Если ленту тянуть с силой F , то груз будет подниматься с постоянной скоростью.

С какой силой F_x надо тянуть ленту, чтобы поднимать груз 2m с той же скоростью?

Стержень может свободно вращаться вокруг неподвижной оси OO' . Считать, что минимальная сила, необходимая для отрыва ленты от мотка, направлена по его радиусу и не зависит от скорости отрыва.

Решение

Разложим силу натяжения ленты на две составляющие: касательную F_t и нормальную F_n к поверхности мотка в точке отрыва. Касательную компоненту F_t находим из уравнения моментов для мотка, которое запишем для двух случаев:

F_t R = mgr, \quad F_{tx} R = 2mgr. Тогда сила, с которой следует тянуть ленту в этих случаях, равна

F = \sqrt{F_t^2 + F_n^2}, \quad F_x = \sqrt{F_{tx}^2 + F_n^2}. Отсюда получаем

F_x = \sqrt{F_{tx}^2 + F_n^2} = \sqrt{4m^2 g^2 \frac{r^2}{R^2} + F^2 - m^2 g^2 \frac{r^2}{R^2}} = \sqrt{F^2 + 3m^2 g^2 \frac{r^2}{R^2}}.