Разные задачи. Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 9

Условие

Колёса велосипеда имеют одинаковый радиус R , а расстояние между центрами колёс l = 3R . В протекторе покрышек переднего и заднего колёс застряли два маленьких камня. В начальный момент камень на заднем колесе касается земли, а камень на переднем колесе находится в крайнем переднем положении (см. рисунок).

15 Велосипед едет прямолинейно со скоростью v , колёса не скользят по дороге, камни не отрываются от покрышек.

Найдите максимальное L_{max} и минимальное L_{min} расстояния между камнями в процессе движения велосипеда.

Через какое минимальное время t после начала движения расстояние между камнями достигает максимального значения?

Решение

Поскольку колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями \omega = v/R . Поэтому угол между радиус-векторами камней \vec{r}_1 и \vec{r}_2 относительно центров колёс в любой момент времени составляет 90^\circ (см. рисунок).

16 Радиус-вектор \vec{r}_{21} второго камня относительно первого можно найти из векторного равенства

\vec{r}_{21} = \vec{r}_0 + \vec{r}_2 - \vec{r}_1, где \vec{r}_0 – радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами \vec{r}_1 и \vec{r}_2 всегда равен 90^\circ , то вектор \vec{r}_2 - \vec{r}_1 имеет длину \sqrt{2}R и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колёс. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора \vec{r}_0 (который не меняется в процессе движения велосипеда) и вектора, имеющего длину \sqrt{2}R и вращающегося с угловой скоростью \omega . Сложение этих векторов показано на рисунке ниже, причём концы векторов \vec{r}_2 - \vec{r}_1 и \vec{r}_{21} лежат на окружности радиуса \sqrt{2}R с центром в конце вектора \vec{r}_0 .

17 Из рисунка выше следует, что вектор \vec{r}_{21} имеет минимальную длину в тот момент времени, когда вектор \vec{r}_2 - \vec{r}_1 направлен противоположно вектору \vec{r}_0 , максимальную – когда вектор \vec{r}_2 - \vec{r}_1 направлен так же, как и вектор \vec{r}_0 . Поэтому

r_{21}^{min} = 3R - \sqrt{2}R = R(3 - \sqrt{2}); r_{21}^{max} = 3R + \sqrt{2}R = R(3 + \sqrt{2}).

Эти два случая показаны на рисунках а и б (см. рисунок ниже), соответственно.

18 Длина вектора \vec{r}_{21} будет максимальна, когда вектор \vec{r}_2 повернётся на угол \pi/4 по сравнению с начальным положением. Отсюда находим момент времени t , когда расстояние между камнями достигает максимального значения:

t = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi R}{4v}. Задача 10

Условие

В лесу стоит дом, а в поле расположенном рядом с лесом есть колодец. Виктору необходимо дойти от дома до колодца как можно скорее. Расстояния L, L_1, L_2 указанные на рисунке считайте известными. Найдите минимальное время, необходимое Виктору, чтобы добраться до цели, если по лесу он может идти со скоростью v_1, а по полю со скоростью v_2.

19 Решение

Можно воспользоваться оптической аналогией и перейти от скоростей к подобию коэффициентов преломления. Для леса примем его равным 1, для поля v_1/v_2 . В таком случае, можно воспользоваться аналогом закона Снеллиуса.

Пусть расстояние <<по горизонтали>> от дома до места пересечения границы равно x . Тогда:

1 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + L_1^2}} = \frac{v_1}{v_2} \cdot \frac{L - x}{\sqrt{(L - x)^2 + L_2^2}}, откуда

\frac{x^2}{x^2 + L_1^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} \cdot \frac{(L - x)^2}{(L - x)^2 + L_2^2}, переворачивая, получим

\frac{L_1^2}{x^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} \cdot \frac{L_2^2}{(L - x)^2} \ => \ \frac{(L - x)^2}{x^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} \cdot \frac{L_2^2}{L_1^2} \ => \ L - x = x \frac{v_2}{v_1}\frac{L_2}{L_1}. Выражаем x :

x = \frac{LL_1v_1}{L_2v_2 + L_1v_1}. Получаем, что минимальное время

\tau = \frac{\sqrt{x^2 + L_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(L - x)^2 + L_2^2}}{v_2} = \frac{\sqrt{(\frac{LL_1v_1}{L_2v_2 + L_1v_1})^2 + L_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(L - \frac{LL_1v_1}{L_2v_2 + L_1v_1})^2 + L_2^2}}{v_2}. Далее выражение можно упрощать, но это не представляет особого интереса.

Задача 11

Условие

Снаряд вылетает из пушки со скоростью v под углом \alpha к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?

Решение

В некий момент времени t можно записать следующие уравнения для скорости точки:

v_x = v \cos\alpha v_y = v \sin\alpha - gt Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:

x = vt \cos\alpha y = vt \sin\alpha - \frac{gt^2}{2} В любой точке M квадрат расстояния r^2 от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина r нам не нужна:

L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 L_M = (vt \cos\alpha )^2 + \left(vt \sin\alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2 Чтобы определить область убывания функции L(t) , нужно найти значения t , при которых производная L'(t) будет отрицательной. Упростим L(t) , раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:

L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin\alpha + \frac{1}{4}g^2t^4 \frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin\alpha + g^2t^3 \frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3v\tan\sin\alpha + g^2t^2) Осталось решить неравенство:

2v^2 - 3v\tan\sin\alpha + g^2t^2 < 0 Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно t ; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:

t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin\alpha}{g}\right)\right], t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right), t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right), \alpha\in [70.53^\circ; 90^\circ] Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:

\min\left(t_2, \frac{2v\sin\alpha}{g}\right) - t_1 Если минимум равен t_2 , получаем решение:

\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha\in [70.53^\circ; 90^\circ]. Задача 12

Условие

Стрелок пытается попасть в диск радиуса R , который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью так быстро, что за ним нельзя уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попадания пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой.

20 Выстрелы производятся на высоте R от пола перпендикулярно направлению движения диска. В какой точке прицеливания вероятность попадания наименьшая? Наибольшая? Чему они равны? Разберите случаи L > 4R, \; 4R > L > 2R, где L — расстояние между стенками.

Решение

При движении мишени, сторонний наблюдатель реже всего видит мишень именно с краю, т.к. она там остаётся меньшее время.

Таким образом минимальная вероятность будет наблюдаться на интервале:

\left\{\begin{matrix} 0 \leq x < 2R\\\ L-2R < x \leq L \end{matrix}\right. Т.к. скорость мишени постоянна, а нахождение мешени в диапазоне 2R \leq x \leq L-2R равновероятно, то вероятность нахождения в этом диапазоне равна отношению диаметра к длине этого диапазона: \frac{2R}{L-2R}.

Графики соответcтвующие данным режимам:

21