Разные задачи. Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 13

Условие

Два одинаковых небольших тяжёлых ящика покоятся на одинаковом расстоянии L = 0{,}8 м от прямолинейного края ледяного поля. Оба ящика находятся на одинаковом расстоянии L = 0{,}8 м от прямолинейного края ледяного поля. Уборщик, вооружённый длинным скребком (плоской прямоугольной пластиной с ручками), подъехал к первому ящику и прижал край скребка к одной из граней ящика. Для этого он развернул скребок так, что его край составил угол \alpha_1 = 10^\circ с краем поля. Затем он двигал скребок поступательно из состояния покоя с постоянным ускорением a , направленным перпендикулярно краю поля (см. рисунок). В результате ящик покинул поле за время t_1 = 2 с. Потом уборщик подъехал ко второму ящику и, действуя аналогично, вывез его за край поля. Он снова вёз скребок поступательно с тем же ускорением, но в этот раз край скребка составлял с краем поля угол \alpha_2 = 45^\circ . Известно, что коэффициент трения между льдом и обоими ящиками равен \mu' = 1/24 , а между скребком и обоими ящиками — \mu = 7/24 . Ускорение свободного падения g = 10 м/с ^2 . Скребок всё время движения расположен вертикально, ящик от скребка не отрывается.

22 Определите ускорение a скребка.

Во сколько раз путь второго ящика до края поля был больше, чем у первого?

За какое время t_2 второй ящик покинет лёд?

Во сколько раз сила трения между скребком и вторым ящиком больше, чем сила трения между скребком и первым ящиком?

Решение

Возможны два различных режима движения ящика: 1. без скольжения по скребку (рис. 1); 2. с проскальзыванием (рис. 2).

В первом режиме полная реакция опоры \vec{Q}_c (результирующая силы нормальной реакции скребка \vec{N}_c и силы трения \vec{F}_{тр(c)} действующей на ящик со стороны скребка) направлена вдоль направления движения скребка, поэтому:

F_{тр(c)} = N_c \tg \alpha. Поскольку сила трения покоя удовлетворяет соотношению F_{тр(c)} \leq \mu N_c , то первый режим реализуется при условии:

\tg \alpha \leq \mu. Если данное условие не выполняется, то реализуется второй режим.

Во втором режиме сила трения \vec{F}_{тр(л)} , действующая на ящик со стороны льда, направлена противоположно \vec{Q}_c , поскольку ящик изначально неподвижен. При этом \vec{Q}_c образует угол \varphi = \arctg \mu с нормалью к поверхности скребка и угол \beta = \alpha - \varphi с направлением ускорения скребка. Значит и направление движения ящика образует угол \beta с направлением ускорения скребка.

23 Для первого ящика \tg \alpha_1 \approx 0{,}176 < \mu , значит он движется без скольжения по скребку. Для второго ящика \tg \alpha_2 = 1 > \mu , и для него реализуется второй режим. Тогда путь первого ящика до границы ледяного поля s_1 = L , а значит ускорение скребка:

\displaystyle a = \frac{2L}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 0{,}8}{4} = 0{,}4 м/с^2. Найдём путь L_2 второго ящика, зная, что его направление движения образует угол \beta с направлением ускорения скребка и ящик двигался из состояния покоя:

L_2 \cdot \cos(\beta) = L Следовательно, отношение путей второго и первого ящиков:

\displaystyle \frac{L_2}{L} = \frac{1}{\cos \beta} = \frac{1}{\cos(\alpha_2 - \varphi)} \approx 1{,}14 Поскольку второй ящик движется без отрыва от скребка – проекции скорости ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка в любой момент должны быть одинаковы:

v_n = v_{я(n)}. Тогда, поскольку ящик и скребок движутся поступательно – проекции ускорений ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка также должны совпадать:

a_n = a_{я(n)}. Векторы ускорения \vec{a} и \vec{a}_я образуют углы \alpha_2 и \varphi соответственно с нормалью к поверхности скребка:

a \cos \alpha_2 = a_я \cos \varphi. Тогда во втором режиме для времени t_2 движения ящика до края поля находим:

t_2 = \sqrt{\frac{2L_2}{a_я}} = \sqrt{\frac{2L}{a} \frac{\cos \varphi}{\cos \alpha_2 \cos(\alpha_2 - \varphi)}} = t_1 \sqrt{\frac{\cos \varphi}{\cos \alpha_2 \cos(\alpha_2 - \varphi)}} \approx 2.5 \ c