Разные задачи. Часть 1: Часть 1
Физика, 9 класс
Уровень 4.0 Задача 1 Условие На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость v . Найдите устан...
Видео
Конспект
Уровень 4.0
Задача 1
Условие
На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость v . Найдите установившуюся скорость монеты.
Решение
Расставим силы действующие на монету.
1 Из рисунка, найдем силу реакции опоры:
N=mg \cos\alpha По Закону Амонтона — Кулона:
F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos\alpha Т.к. \mu = \tan\alpha (по условию):
F_{тр}=\mu mg \cos\alpha F_{тр}=mg \cdot \tan\alpha\cdot \cos\alpha =mg \sin\alpha F=mg \sin\alpha Перерисуем в плоскости XY В начальный момент (\varphi=90^{\circ}) :
2 В конечный момент (\varphi=0^{\circ}) :
3 Рассмотрим, произвольный момент:
4 Заметим, что \varphi меняется от 0^{\circ} до 90^{\circ} :
Запишем второй закон Ньютона:
\begin{cases}
\displaystyle \frac{du_x}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{m} \\
\\
\displaystyle \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m}
\end{cases} \begin{cases}
\displaystyle \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= -\frac{F \sin \varphi }{m} \\
\\
\displaystyle \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m}
\end{cases} Решаем систему дифференциальных уравнений:
\begin{cases}
\displaystyle \frac{d\varphi}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{mu} \\
\\
\displaystyle \frac{du}{dt} = -\frac{F (1- \cos \varphi) }{m} \end{cases} Далее:
\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} \frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi \frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi Интегрируем обе части уравнения:
\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \int\frac{du}{u}=ln|u| \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) Подставляем:
ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2}))) v_x=\frac{v}{2} Ответ: v/2
Задача 2
Условие
От прямолинейного участка берега отошли одновременно два корабля A и B , находившиеся первоначально на расстоянии L друг от друга. Корабль A двигался по прямой, перпендикулярной к берегу. Корабль B держал непрерывно курс на корабль A , имея в каждый момент одинаковую с ним скорость. Очевидно, что через достаточно большое время второй корабль будет следовать за первым, находясь от него на некотором расстоянии. Найти это расстояние.
Решение
Введём оси Ox и Oy следующим образом: ось Ox перпендикулярна береговой линии и сонаправлена с направлением движения первого корабля, ось Oy в любой момент времени направлена от второго корабля к первому, как на рисунке.
5 Запишем скорость сближения по обеим осям, считая скорости кораблей равными v , а острый угол между осями равным \alpha :
\begin{cases}
Ox: \ v_{x_{отн}} = v - v \cos{\alpha} \\
Oy: \ v_{y_{отн}} = v \cos{\alpha} - v
\end{cases} Умножим оба уравнения на dt – малый промежуток времени
\begin{cases}
Ox: \ v_{x_{отн}} dt = (v - v \cos{\alpha})dt \\
Oy: \ v_{y_{отн}} dt = (v \cos{\alpha} - v)dt
\end{cases} Запишем интеграл от обеих частей обоих уравнений:
\begin{cases}
Ox: \displaystyle \Delta x = \int_0^{\infty} (v - v \cos{\alpha})dt \\
\\
Oy: \displaystyle \Delta y = \int_0^{\infty} (v \cos{\alpha} - v)dt
\end{cases} Пусть конечное расстояние между кораблями S , тогда
\Delta x = S - 0, \ \Delta y = L - S. Подставляем:
\begin{cases}
Ox: S = \displaystyle \int_0^{\infty} (v - v \cos{\alpha})dt \\
\\
Oy: L - S = \displaystyle \int_0^{\infty} (v \cos{\alpha} - v)dt
\end{cases} При этом, очевидно, что
\int_0^{\infty} (v - v \cos{\alpha})dt + \int_0^{\infty} (v \cos{\alpha} - v)dt = 0, значит
S + L - S = 0 \ => \ S = L/2. Задача 3
Условие
Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью v = 10 м/с. Скорость лисы составляет 2v = 20 м/с, лиса в каждый момент времени бежит точно в ту точку, где находится заяц. В начальный момент расстояние между лисой и зайцем составляет L = 300 метров, направление движения зайца перпендикулярно отрезку, который в этот момент соединяет его с лисой. Через какое время лиса его догонит?
Решение
Введём оси Ox и Oy следующим образом: ось Ox сонаправлена с направлением движения зайца, ось Oy в любой момент времени направлена от лисы к зайцу.
Запишем скорость сближения по обеим осям, считая острый угол между осями равным \alpha :
\begin{cases}
Ox: \ v_{x_{отн}} = v - 2v \cos{\alpha} \\
Oy: \ v_{y_{отн}} = v \cos{\alpha} - 2v
\end{cases} Умножим оба уравнения на dt – малый промежуток времени и второе уравнение на 2:
\begin{cases}
Ox: \ v_{x_{отн}} dt = (v - 2v \cos{\alpha})dt \\
Oy: \ 2v_{y_{отн}} dt = (2v \cos{\alpha} - 4v)dt
\end{cases} Запишем интеграл от обеих частей обоих уравнений:
\begin{cases}
Ox: \displaystyle \Delta x = \int_0^{\tau} (v - 2v \cos{\alpha})dt \\
\\
Oy: \displaystyle 2\Delta y = \int_0^{\tau} (2v \cos{\alpha} - 4v)dt
\end{cases} Сложим уравнения
\Delta x + 2\Delta y = - \int_0^{\tau}3v \ dt = -3 v \tau. \Delta x = 0, \ \Delta y = -L. -2L = -3 v \tau \ => \ \tau = 2L/3v = 20 \ с.