Разные задачи. Часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 7

Условие

Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого. В начальный момент времени тигры образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными L (см. рис.). Считайте размеры тигров много меньшими L .

Модуль скорости первого тигра v_1 = v , где v — известная величина, а скорости второго и третьего тигров v_2 и v_3 таковы, что в процессе движения углы в треугольнике ABC , образованном тиграми, остаются постоянными.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Начало координат совпадает с положением первого тигра в момент старта (точкой A ).

11 При ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и могут развивать любое усилие. Найдите:

время t , через которое тигры встретятся;

модули скоростей второго и третьего тигров v_2 и v_3 ;

координаты (x, y) точки, в которой тигры встретятся.

В действительности движение тигров ограничивается коэффициентами трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одинаков и равен \mu . Ускорение свободного падения g .

В течение какого времени \tau с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?

Решение

Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, то в любой момент времени образованный тиграми треугольник подобен исходному. Из этого следует, что все тигры встретятся одновременно.

Найдем скорость изменения расстояния AB . Так как модули скоростей тигров и углы между ними остаются постоянными, то искомая скорость равна v_{AB} = v_1 и она постоянна. Время до встречи первого и второго тигров равно t = L/v .

Выразим скорости изменения расстояний BC и AC :

v_{BC} = v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}, v_{AC} = v_3 + \frac{v_1}{\sqrt{2}}.

Поскольку углы в треугольнике ABC остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника им пропорциональны:

\frac{v_{AB}}{AB} = \frac{v_{BC}}{BC} = \frac{v_{AC}}{AC}. Найдём v_{AC} :

\frac{v}{L} = \frac{v_3 + \frac{v}{\sqrt{2}}}{L\sqrt{2}} \Rightarrow v_3 = \frac{v}{\sqrt{2}}. Теперь найдём v_{BC} :

\frac{v}{L} = \frac{v_2 + \frac{v}{2}}{L} \Rightarrow v_2 = \frac{v}{2}. Поскольку модуль скорости второго тигра всегда вдвое меньше модуля скорости первого тигра, а направления скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны, то траектории их движения будут подобны друг другу с коэффициентом подобия 2:1. Отсюда следует, что вектора перемещения также будут взаимно перпендикулярны и отличаться по модулю в два раза.

Можно доказать это и строго математически. Рассмотрим малый момент времени dt . Пусть угол между скоростью первого тигра и осью x равен \alpha , тогда угол между скоростью второго тигра и осью x будет равен \alpha + 90^\circ . Запишем изменения координат тигров за малое время:

dx_1 = v \cos \alpha \cdot dt, dy_1 = v \sin \alpha \cdot dt, dx_2 = \frac{v}{2} \cos (\alpha + 90^\circ) \cdot dt = -\frac{v}{2} \sin \alpha \cdot dt, dy_2 = \frac{v}{2} \sin (\alpha + 90^\circ) \cdot dt = \frac{v}{2} \cos \alpha \cdot dt.

Из полученных уравнений видно, что для любого момента времени dx_1 = 2dy_2 , dy_1 = -2dx_2 , это означает, что вектора полных перемещений также отличаются в два раза по модулю и взаимно перпендикулярны.

Поскольку тигры встретились: \vec{S}_1 = \vec{AB} + \vec{S}_2 . Тогда из прямоугольного треугольника находим: (x_B, y_B) = (4L/5, 2L/5) .

12 Величины ускорений тигров не должны превышать \mu g , поскольку сила трения — единственная сила, действующая на них в горизонтальной плоскости.

Ускорения тигров имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей тигров вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости \omega вращения треугольника в данный момент времени. Найдём её, рассматривая движение второго тигра относительно первого:

\omega = \frac{v_2}{AB} = \frac{v}{2AB}, тогда для ускорений получим: a_1 = \omega v_1 , a_2 = \omega v_2 , a_3 = \omega v_3 .

Ускорение первого тигра a_1 всегда больше ускорений двух других, значит, он первым не сможет поддерживать данное движение. Для зависимости a_1 от времени t получим:

a_1(t) = \frac{v^2}{2(L - vt)} \leq \mu g, откуда:

t \leq \frac{L}{v} - \frac{v}{2\mu g}. Проанализируем полученный ответ.

При малых значениях коэффициента трения тигры не смогут даже начать такое движение, поэтому: \tau = 0 при \displaystyle \mu \leq \frac{v^2}{2gL},

иначе: \displaystyle \tau = \frac{L}{v} - \frac{v}{2\mu g} при \displaystyle \mu > \frac{v^2}{2gL}.

Задача 8

Условие

Маленькое невесомое колечко может скользить без трения по длинной горизонтальной закреплённой спице. Один конец невесомой нерастяжимой нити прикреплён к кольцу, а другой закреплён в неподвижной точке O (см. рисунок). По нити без трения может перемещаться массивная бусинка. Изначально нить слегка натянута, при этом бусинка находится на одной горизонтали с точкой O и на одной вертикали с колечком. Длина горизонтального участка нити равна L .

13 Бусинку толчком приводят в движение в вертикальной плоскости, содержащей нить. Сразу после толчка бусинка удаляется от спицы, а нить оказывается натянутой. Ускорение свободного падения равно g .

Под каким углом \alpha к горизонту направлена скорость бусинки сразу после толчка?

При каких значениях начальной скорости v_0 нить будет оставаться натянутой в процессе удаления бусинки от спицы?

Решение

Участок нити, соединяющий бусинку и кольцо, всё время остаётся вертикальным и по условию в начальный момент времени нить натянута. Пусть b – расстояние от спицы до точки крепления нити O . Приравняем длину нити через малое время \Delta t к начальной длине L + b :

L + b = b + v_{0y}\Delta t + \sqrt{(v_{0y}\Delta t)^2 + (L - v_{0x}\Delta t)^2}, где v_{0x}, v_{0y} – горизонтальная и вертикальная проекции начальной скорости.

(L - v_{0y}\Delta t)^2 = (v_{0y}\Delta t)^2 + (L - v_{0x}\Delta t)^2 L^2 - 2Lv_{0y}\Delta t = L^2 - 2Lv_{0x}\Delta t + (v_{0x}\Delta t)^2.

Пренебрежём вторым порядком малости:

v_{0y} = v_{0x}; \Rightarrow v_0 \sin \alpha = v_0 \cos \alpha; \Rightarrow \tg \alpha = 1; \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}. Проанализируем траекторию движения бусинки. Введём систему координат xy с началом в точке O . Так как расстояние от спицы до начального положения бусинки постоянно, длина участка нити, находящегося выше Ox , также постоянна и равна L .

14 С учётом этого:

L = y + \sqrt{y^2 + x^2}; y^2 + x^2 = L^2 - 2Ly + y^2; y = \frac{L}{2} - \frac{x^2}{2L}.

Таким образом, траектория движения при условии натяжения нити является параболой.

Далее найдём минимальную возможную начальную скорость v_{min} бусинки, при которой нить будет оставаться натянутой в процессе удаления бусинки от спицы.

При свободном броске в поле тяжести траекторией будет являться парабола, которая касается полученной параболы. Для случая, когда начальная скорость минимальна, траектория полёта в поле тяжести совпадает с траекторией для всегда натянутой нити. Получим уравнение траектории при свободном движении в поле тяжести:

\begin{cases}

y = v_{0min} \sin(\alpha)t - \frac{gt^2}{2} \\

x = L - v_{0min} \cos(\alpha)t

\end{cases} учтём, что \alpha = \pi/4 . тогда:

y = L - x - \frac{g(L - x)^2}{v_{0min}^2}; y = \frac{Lv_{0min}^2 - gL^2}{v_{0min}^2} + \frac{2gL - v_{0min}^2}{v_{0min}^2}x - \frac{g}{v_{0min}^2}x^2.

Сравнивая полученные уравнения для траекторий, получим:

v_{0min}^2 = 2gL.