Сложная гидравлика: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Любознательный ученик 9 класса соорудил на даче модель водяной турбины. Вода из широкой бочки вытекала через небольшое отверстие площадью S = 1\,см^2 = 10^{-4}\,м^2 у дна и попадала на лопасти турбинки. С помощью нити, намотанной на тонкий вал турбины и перекинутой через блок, устройство могло поднимать вверх груз массой m = 100\,г = 0.1\,кг .

Определите коэффициент полезного действия модели водяной турбины, принимая высоту столба воды в бочке H = 0.2\,м , скорость груза v_1 = 2\,см/с = 0.02\,м/с .

1 Выполнив первый эксперимент, ученик перекрыл кран K и герметично закрыл отверстие A в крышке бочки. Бочка нагрелась на солнце. Открыв кран K (при закрытом A ), он обнаружил, что механизм работает активнее: груз поднимается со скоростью v_2 = 5\,см/с = 0.05\,м/с .

Предполагая, что КПД устройства остался неизменным, а уровень воды в бочке по-прежнему H = 0.2\,м , определите, насколько изменилось давление газа в бочке.

Плотность воды \rho = 10^3\,кг/м^3 , ускорение свободного падения g = 10\,м/с^2 .

Решение:

Скорость вытекающей воды по формуле Торричелли: u_1 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2\cdot 10 \cdot 0.2} = \sqrt{4} = 2\ м/с.

Мощность вытекающей струи. Расход воды \mu = \rho S u_1 : P_1 = \frac{\mu u_1^2}{2} = \frac{\rho S u_1^3}{2}.

Подставляем числовые значения: P_1 = \frac{10^3\cdot 10^{-4}\cdot 2^3}{2} = \frac{10^3\cdot 10^{-4}\cdot 8}{2} = \frac{0.8}{2} = 0.4\ Вт.

Полезная мощность турбины (подъём груза): N_1 = mgv_1 = 0.1 \cdot 10 \cdot 0.02 = 0.02\ Вт.

Коэффициент полезного действия: \eta = \frac{N_1}{P_1} = \frac{0.02}{0.4} = 0.05 = 5%. \eta = 5%

Избыточное давление газа над поверхностью воды эквивалентно добавочному водяному столбу высотой h : \Delta p = \rho g h, \qquad h = \frac{\Delta p}{\rho g}.

Скорость истечения с учётом избыточного давления: u_2 = \sqrt{2g(H + h)}.

Отсюда: h = \frac{u_2^2}{2g} - H.

Найдём u_2 из мощности струи во втором случае. Полезная мощность турбины: N_2 = mgv_2 = 0.1 \cdot 10 \cdot 0.05 = 0.05\ Вт.

КПД остался неизменным: \eta = 0.05 = \frac{N_2}{P_2} \quad\Rightarrow\quad P_2 = \frac{N_2}{\eta} = \frac{0.05}{0.05} = 1\ Вт.

Мощность струи: P_2 = \frac{\rho S u_2^3}{2}, откуда: u_2^3 = \frac{2P_2}{\rho S} = \frac{2 \cdot 1}{10^3\cdot 10^{-4}} = \frac{2}{0.1} = 20,

\qquad

u_2 = \sqrt[3]{20} \approx 2.714\ м/с.

Теперь найдём h : h = \frac{(2.714)^2}{2 \cdot 10} - 0.2 = \frac{7.367}{20} - 0.2 = 0.36835 - 0.2 = 0.16835\ м.

Избыточное давление: \Delta p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 0.16835 \approx 1683.5\ Па.

Можно также получить \Delta p непосредственно через скорость u_2 : \Delta p = \frac{1}{2}\rho u_2^2 - \rho g H.

Проверим: \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2.714)^2 - 1000 \cdot 10 \cdot 0.2 = 500 \cdot 7.367 - 2000 = 3683.5 - 2000 = 1683.5\ Па.

Округляя, получим: \Delta p \approx 1.68\ кПа = 0.0168\ атм.

\boxed{\Delta p \approx 1680\ Па = 0.0168\ атм} Задача 2

Для измерения скорости потока воды в отопительной системе используется устройство, изображенное на рисунке (так называемый манометр Вентури).

2 Скорость потока измеряется в трубе с диаметром d_1 = 2\,см ; в месте установки манометра труба сужается до диаметра d_2 = 0.6\,см . В верхней части П-образной манометрической трубки содержится масло с плотностью \rho_M = 0.82\,г/см^3 . Вертикальные участки трубки врезаны в широкую и узкую части трубы с текущей водой.

Рассматривая воду как идеальную несжимаемую жидкость, определите объём воды, протекающей через трубу в 1 с, если разность уровней воды в вертикальных коленах манометрической трубки h = 1.2\,см .

Плотность воды \rho = 1\,г/см^3 .

Примечание. При течении идеальной несжимаемой жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения p/\rho + v^2/2 = \mathrm{const} вдоль всей трубы. Здесь p – давление жидкости, \rho – плотность, v – скорость течения.

Решение:

Скорости потока в широкой и узкой частях трубы обозначим v_1 и v_2 соответственно. Запишем уравнение Бернулли и условие несжимаемости жидкости: p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2, \qquad v_1 S_1 = v_2 S_2, где p_1 и p_2 — давления, а S_1 и S_2 — площади сечения широкой и узкой частей трубы. Отсюда следует p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right) = \frac{1}{2}\rho v_1^2 S_1^2 \left(\frac{1}{S_2^2} - \frac{1}{S_1^2}\right).

Объём воды, протекающей по трубе за единицу времени: V = v_1 S_1 = \sqrt{\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho\left(S_2^{-2} - S_1^{-2}\right)}}.

3 Найдём разность p_1 - p_2 . Из рисунка следует: p_1 = p_3 + \rho g y_1, \qquad p_2 = p_3 + \rho g y_2 + \rho_M g h, где p_3 — давление в масле на уровне y_1 . Вычитая, получаем: p_1 - p_2 = \rho g (y_1 - y_2) - \rho_M g h.

Но из рисунка видно, что y_1 - y_2 = h (разность уровней воды в вертикальных коленах). Следовательно: p_1 - p_2 = \rho g h - \rho_M g h = (\rho - \rho_M) g h.

Подставляя это в выражение для V , имеем: V = \sqrt{\frac{2(\rho - \rho_M) g h}{\rho\left(S_2^{-2} - S_1^{-2}\right)}}.

Выразим площади через диаметры: S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}, \qquad S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4}.

Тогда S_2^{-2} - S_1^{-2} = \frac{16}{\pi^2}\left(\frac{1}{d_2^4} - \frac{1}{d_1^4}\right).

Подставляем в формулу для V : V = \sqrt{\frac{2(\rho - \rho_M) g h}{\rho \cdot \dfrac{16}{\pi^2}\left(d_2^{-4} - d_1^{-4}\right)}} = \sqrt{\frac{2(\rho - \rho_M) g h \pi^2}{16\rho\left(d_2^{-4} - d_1^{-4}\right)}}.

Упрощаем: V = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{(\rho - \rho_M) g h}{2\rho\left(d_2^{-4} - d_1^{-4}\right)}}.

V \approx 5.84 \cdot 10^{-6}\ м^3/с. Задача 3

В трубе сечения S течёт взвесь — жидкость, переносящая с собой мелкие сжимаемые гранулы (см. рисунок).

4 На участке с давлением p объём отдельной гранулы V , а на участке с пониженным давлением p - \Delta p объём гранулы V + \Delta V . Число гранул, проходящих за единицу времени через любое сечение трубы, равно \nu .

Найдите массу взвеси \mu , проходящую через трубу за единицу времени при стационарном течении, если трения со стенками трубы нет, а скорость жидкости и гранул по всему сечению одинакова.

Решение:

Пусть n_1, n_2 — концентрации гранул (число гранул в единице объёма), а u_1, u_2 — скорости течения на указанных в условии участках трубы. Тогда число гранул, проходящих за единицу времени через любое сечение: \nu = n_1 u_1 S, \qquad \nu = n_2 u_2 S.

Из несжимаемости жидкости следует постоянство объёмного расхода жидкости (без учёта объёма, занятого гранулами). Объёмный расход жидкости: на первом участке u_1 S (1 - n_1 V) , на втором участке u_2 S\left(1 - n_2(V + \Delta V)\right) . Приравнивая их, получаем: u_1 S (1 - n_1 V) = u_2 S\left(1 - n_2(V + \Delta V)\right).

Выразим n_1 = \dfrac{\nu}{u_1 S} , n_2 = \dfrac{\nu}{u_2 S} и подставим: u_1 S\left(1 - \frac{\nu}{u_1 S} V\right) = u_2 S\left(1 - \frac{\nu}{u_2 S}(V + \Delta V)\right).

Упрощаем: u_1 S - \nu V = u_2 S - \nu(V + \Delta V).

Отсюда: u_1 S - u_2 S = -\nu \Delta V,

\qquad

u_2 - u_1 = \frac{\nu \Delta V}{S}.

Итак, разность скоростей течения на указанных участках: \Delta u = u_2 - u_1 = \frac{\nu \Delta V}{S}.

Рассмотрим теперь смещение объёма взвеси между указанными участками за время dt . Задняя граница этого объёма сместится вправо на u_1 dt , а передняя — на u_2 dt . В области пересечения картина течения остаётся неизменной. От исходного отрезка сзади «отрезается» кусок длиной u_1 dt с массой dm = \mu\, dt , а спереди добавляется кусок длиной u_2 dt с той же массой.

Определим суммарную силу, действующую на отрезок взвеси, через изменение импульса: F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt}(u_2 - u_1) = \mu(u_2 - u_1).

С другой стороны, эта сила создаётся разностью давлений на торцах отрезка: F = \Delta p \cdot S.

Приравнивая два выражения для силы, получаем: \mu(u_2 - u_1) = \Delta p\, S.

Отсюда находим массу взвеси, проходящую через трубу за единицу времени: \mu = \frac{\Delta p\, S}{u_2 - u_1}.

Подставляя найденное значение u_2 - u_1 = \dfrac{\nu \Delta V}{S} , окончательно имеем: \mu = \frac{\Delta p\, S^2}{\nu \Delta V}.