Разные задачи. Часть 3: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 16

Условие

На горизонтальной поверхности в точке O удерживают шайбу массой m , связанную с двумя невесомыми резинками, продетыми через зафиксированные на этой поверхности гладкие колечки B и C . Другие концы резинок закреплены в точках A и D , при этом AB = CD = L , BC = 2L , BO = CO = L\sqrt{2} (см. рис.)

28 Длины обеих резинок в свободном состоянии равны L , а коэффициенты жёсткости k_{OBA} = k , k_{OCD} = 3k , где k — известная величина. Коэффициент трения шайбы о поверхность равен \mu , резинки не касаются поверхности. Ускорение свободного падения g . Шайбу отпускают.

Найдите максимальную скорость v_{max} шайбы в процессе дальнейшего движения.

Определите время \tau от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается.

Решение

Найдём равнодействующую сил упругости, действующих на шайбу при её произвольном положении. Обозначим положение шайбы точкой P , середину отрезка BC – точкой E . Также обозначим векторы \vec{EP} = \vec{r}, \vec{EC} = \vec{a} (рис.).

29 Тогда удлинения резинок равны длинам отрезков BP и CP , а равнодействующая сил упругости:

\vec{F}_{упр} = -k(\vec{r} + \vec{a}) - 3k(\vec{r} - \vec{a}) = -4k \left(\vec{r} - \frac{\vec{a}}{2}\right). Таким образом, равнодействующая сила всегда направлена к точке F , являющейся серединой отрезка EC (рис. 2), и пропорциональна расстоянию до неё от точки P с коэффициентом жёсткости 4k . Следовательно, всё движение шайбы будет происходить по прямой OF , как если бы она находилась под воздействием пружины с коэффициентом жёсткости 4k и имела положение равновесия в точке F .

Задача свелась к исследованию движения по прямой в присутствии сухого трения.

Длина отрезка OF равна l_0 = \frac{L\sqrt{5}}{2} , начальное значение силы упругости F_0 = 2\sqrt{5}kL . Если максимальная сила трения покоя превышает её, то есть \mu mg \geq 2\sqrt{5}kL - шайба не начнёт движение, и её скорость останется равной 0. В противном случае шайба придёт в движение, для описания которого введём ось x с началом в точке F , направленную к точке O . Уравнение движения шайбы от момента начала движения до момента первой остановки шайбы:

ma_x = -4kx + \mu mg заменой x' = x - \frac{\mu mg}{4k} приводится к уравнению гармонических колебаний

ma_{x'} = -4kx' с нулевой начальной скоростью и начальным отклонением от «смещённого» положения равновесия l_1 = l_0 - \frac{\mu mg}{4k} .

Тогда ясно, что максимальная скорость шайбы достигается при прохождении «смещённого» положения равновесия и определяется из закона сохранения энергии:

\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{4kl_1^2}{2} \Rightarrow v_{max} = 2l_1\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5k}{m}} L - \frac{\mu g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}. После этого момента времени скорость шайбы будет уменьшаться вплоть до остановки, после которой нам снова нужно будет сравнивать силу упругости пружины с максимальной величиной силы трения (чтобы выяснить, начнётся ли возвратное движение шайбы). Но в любом случае, поскольку механическая энергия системы убывает за счет работы силы трения, максимумы скорости на новых полупериодах движения будут меньше уже найденного.

v_{max} =

\begin{cases}

0 & при \mu mg \geq 2\sqrt{5}kL \\

\sqrt{\frac{5k}{m}}L - \frac{\mu g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}} & при \mu mg < 2\sqrt{5}kL

\end{cases} Как было показано при решении первого пункта, при \mu mg < 2\sqrt{5}kL максимальная скорость движения шайбы достигается в её положении равновесия, т.е. через четверть периода колебаний T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} после старта.

При \mu mg \geq 2\sqrt{5}kL – движение не начнётся.

\tau =

\begin{cases}

Движение не начнётся при & \mu mg \geq 2\sqrt{5}kL \\

\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{m}{k}} & при \mu mg < 2\sqrt{5}kL

\end{cases} Задача 17

Условие

Настя стоит в поле на расстоянии s от прямой дороги, по которой от остановки с постоянным ускорением a в её сторону начинает движение автобус (см. рисунок). Расстояние от остановки до девочки равно l . Через какое минимальное время \tau Настя сможет оказаться рядом с автобусом, если она умеет бегать со скоростью v ? Временем разгона девочки можно пренебречь.

30 Решение

В системе отсчета автобуса точка из которой начала движение девочка за время t смещается параллельно дороге на расстояние at^2/2 . За это время Настя может удалиться от этой точки на расстояние vt . Покажем эти перемещения на рисунке. Геометрическое место точек, в которых может оказаться девочка, имеет вид окружности. Минимальное время t = \tau соответствует касанию окружности автобуса.

31 Обозначим начальное расстояние вдоль дороги между автобусом и Настей за L . Дважды запишем теорему Пифагора: L^2 = l^2 - s^2 и (v\tau)^2 = (L - a\tau^2/2)^2 + s^2 .

\tau = \sqrt{2 \frac{v^2 + La - \sqrt{v^4 + 2v^2La - a^2s^2}}{a^2}} Задача 18

Условие

С лодки, движущейся по течению реки, опускают в воду металлический шарик. Шарик падает на дно реки на расстоянии l_1 по горизонтали от места, где его опустили в воду. Если опустить в воду шарик с лодки, движущейся против течения, то шарик падает на дно на расстоянии l_2 ниже по течению. Для лодки, переплывающей реку по траектории, перпендикулярной течению реки, расстояние до точки падения на дно составляет l_3 .

Чему равно расстояние до точки падения на дно для лодки, движущейся в озере той же глубины, что и река?

Во сколько раз скорость лодки больше скорости течения?

Величина проекции скорости шарика на вертикальное направление при падении в воду равна нулю, закон зависимости силы сопротивления при движении шарика в воде неизвестен, все расстояния отсчитываются по горизонтали от места падения шарика в воду до места падения его на дно. Течение реки и ее глубина везде одинаковы. Двигатель лодки развивает постоянную силу тяги независимо от направления движения.

Решение

В системе отсчета, связанной с водой, скорость лодки v одинакова, независимо от направления движения, поэтому расстояние l , которое проходит шарик до места падения, всегда одно и то же. Время движения шарика в воде \tau также одинаково во всех случаях. В системе отсчета, связанной с землей, расстояния, которые проходит шарик, равны

l_1 = l + u\tau l_2 = u\tau - l, где u – скорость течения. Отсюда

l = \frac{(l_1 - l_2)}{2} При этом также u\tau = \frac{(l_1 + l_2)}{2} . При движении по траектории перпендикулярной течению реки расстояние l_3 определяется по теореме косинусов

l_3^2 = l^2 - 2lu\tau \cdot \cos \alpha + (u\tau)^2, где \alpha – угол между направлением вектора скорости лодки относительно воды и перпендикуляром к направлению течения реки. Учитывая, что \cos \alpha = \frac{u}{v} , получаем

l_3^2 = \frac{(l_1 - l_3)^2}{4} - 2\frac{(l_1 - l_3)}{2} \frac{(l_1 + l_2)}{2} \cdot \frac{u}{v} + \frac{(l_1 + l_2)^2}{4} Отсюда

\frac{v}{u} = \frac{l_1^2 - l_2^2}{l_1^2 + l_2^2 - 2l_3^2}