Разные задачи. Часть 3: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 21

Условие

При проведении аэрофотосъемки местности в кадр попал шлейф дыма от паровоза, начавшего свое движение из состояния покоя с постоянным ускорением a = 0.05 м/с^2 по прямому участку железной дороги. На фотографии виден весь шлейф от самого начала движения. Одной клетке соответствует расстояние 200 м . Считая скорость ветра постоянной, определите:

35 В каком направлении двигался паровоз?

Под каким углом \alpha к железной дороге дул ветер?

Скорость ветра v_0 .

Минимальную скорость ветра v_{min} относительно паровоза.

Время движения паровоза \tau от начала движения до момента съемки.

Расстояние s , которое прошел паровоз от начала движения до момента съемки.

Решение

Направление ветра можно оценить с помощью касательной, проведенной к начальному участку графика. Ветер дует от железной дороги в северо-восточном направлении, примерно под углом 30^\circ к меридиану. Из закона сложения скоростей нетрудно заметить, что при движении паровоза с севера на юг, угол между шлейфом и железной дорогой по мере разгона должен уменьшаться, но он увеличивается, следовательно, паровоз движется с юга на север.

Так как движение паровоза равноускоренное из состояния покоя, то зависимость модуля его скорости от времени имеет вид: u(t) = at . Введём систему координат, направив ось OX перпендикулярно, а ось OY вдоль железной дороги, выбрав ноль в начальной точке шлейфа. В системе отсчета (СО) ветра проекции скорости паровоза на оси OX и OY равны:

\omega_y = u(t) + v_0 \cos \alpha, \omega_x = v_0 \sin \alpha.

Координаты паровоза от времени (в СО ветра) изменяются следующим образом:

y(t) = v_0 \cos \alpha t + \frac{at^2}{2} \quad (площадь под графиком \omega_y(t)), x(t) = v_0 t \sin \alpha.

Так как форма шлейфа не изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой, уравнение траектории паровоза в СО ветра совпадает с уравнением траектории дыма и имеет вид:

y = \frac{ax^2}{2v_0^2 \sin^2 \alpha} + x \ctg \alpha. Это уравнение параболы, координаты вершины которой x_0 и y_0 равны:

x_0 = \frac{v_0^2}{a} \sin \alpha \cos \alpha и y_0 = \frac{v_0^2}{2a} \cos^2 \alpha. Из рисунка находим y_0 = 750 м и x_0 = 870 м , тогда y_0 = \frac{x_0 \ctg \alpha}{2} , из чего убеждаемся, что \ctg \alpha = 1.72 (\alpha = 30^\circ) . Зная угол, можно найти скорости ветра: v_0 = \frac{\sqrt{2ay_0}}{\cos \alpha} = 10 м/с .

Заметим, что расстояние между крайними (по оси x ) точками параболы равно \Delta x = 2000 м. Но, \Delta x = v_0 \tau \sin \alpha , где \tau – время всего движения паровоза. Откуда \tau = \Delta x / v_0 \sin \alpha = 400 с и расстояние, пройденное паровозом s = a\tau^2/2 = 4000 м. В принципе, это расстояние можно найти, определив положение начальной точки движения паровоза, продлив касательную, проведенную к началу шлейфа до пересечения с железной дорогой. Минимальная скорость ветра относительно паровоза равна v_{min} = v_0 \sin \alpha = 5 м/с.

Задача 22

Условие

При проведении аэрофотосъёмки была получена фотография, на которой видны два шлейфа дыма от паровозов (см. рисунок).

36 Одной клетке на фотографии соответствует 50 м на местности. Известно, что один паровоз двигался равномерно по кольцевой ветке железной дороги, а другой с такой же скоростью по прямой. Определите:

направление скорости ветра;

радиус R кольцевой железной дороги;

отношение скорости паровоза v к скорости ветра u ;

направление прямой железнодорожной ветки (выполнить построения с помощью циркуля и линейки).

Решение

Так как паровоз находится в точке B и шлейф расположен западнее, можно сделать вывод, что дует восточный ветер (на запад).

Следовательно, расстояние между точками A и B в направлении с севера на юг ( 16 клеток = 800 м) определяет диаметр кольцевой линии (радиус R = 400 м).

Касательная к шлейфу в точке D направлена с севера на юг. По закону сложения скоростей такое возможно, если в системе отсчета паровоза скорость ветра \omega направлена вдоль меридиана. Так как точка D расположена южнее точки A на R/2 , угол \alpha = 30^\circ и v = 2u .

37 Применим закон сложения скоростей. Шлейф дыма от паровоза, движущегося по прямолинейному пути, направлен вдоль скорости ветра относительно паровоза. Но сам паровоз может двигаться в двух разных направлениях. Из произвольной точки проведем отрезок в западном направлении до пересечения со шлейфом (точка L ). Это будет вектор скорости ветра u . Построим окружность вдвое большего радиуса с центром в точке O , точка пересечения которой со шлейфом K задаст направление KO вектора скорости поезда относительно земли v = 2u . Скорость ветра в системе отсчета паровоза направлена вдоль шлейфа.

38 Задача 23

Условие

Две частицы начали движение из одной точки во взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок).

39 Первая – с начальной скоростью 3v и постоянным ускорением 3a , сонаправленным с начальной скоростью, другая – со скоростью 4v и постоянным ускорением 4a , направленным противоположно начальной скорости. Численно a = 0.538 м/с^2 , v = 10 м/с .

Каким будет расстояние L между частицами в момент, когда их относительная скорость по модулю опять станет равна начальной относительной скорости?

Чему будет равна минимальная относительная скорость v_{отн} частиц?

Решение

Перейдём в систему отсчета, связанную с одной из частиц (например, первой). Воспользуемся законом сложения скоростей и ускорений. Так как скорости частиц всё время остаются перпендикулярными (как и ускорения), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В итоге получим, что вторая частица начинает движение со скоростью 5v и ускорением 5a (см. рисунок).

40 Пусть вторая частица двигалась вдоль оси OX . В новой системе отсчёта угол \alpha между осью OX и начальной скоростью (и начальным ускорением) найдём из условия перпендикулярности скоростей (и ускорения частиц) в старой системе отсчёта: \tg \alpha = 3/4 , \alpha = 36.87^\circ . По аналогии с задачей о дальности полёта тела, брошенного под углом 2\alpha к вертикали, получим:

L = \frac{(5v)^2 \sin 4\alpha}{5a} = \frac{5v^2 \sin 4\alpha}{a} = 500 м. Относительная скорость станет минимальной в тот момент, когда вектор скорости окажется перпендикулярным вектору ускорения. Таким образом,

v_{отн(мин)} = 5v \sin 2\alpha = 48 м/с.