Кривые: Часть 1

Видео

Конспект

Цепная линия (катенария)

Историческая справка

Первым форму висящей цепи исследовал Галилео Галилей, ошибочно приняв её за параболу. В 1691 году правильное уравнение было получено независимо Готфридом Лейбницем, Христианом Гюйгенсом и Иоганном Бернулли. Задача была публично поставлена Якобом Бернулли как вызов математическому сообществу и стала одной из первых демонстраций мощи дифференциального исчисления. Термин «катенария» происходит от лат. catena — цепь.

Физическая модель

4 Рассматривается идеально гибкая, нерастяжимая, однородная нить (или цепь), подвешенная за два конца в однородном поле тяжести. Нить считается абсолютно гибкой: сила натяжения в каждой точке направлена строго по касательной к кривой.

На бесконечно малый элемент нити длиной \Delta s действуют три силы:

сила натяжения \vec{T}(x) на левом конце — направлена по касательной;

сила натяжения \vec{T}(x + \Delta x) на правом конце — направлена по касательной;

сила тяжести \Delta m \cdot g , направленная вертикально вниз.

Условие равновесия: векторная сумма всех трёх сил равна нулю.

Вывод дифференциального уравнения

Пусть форма нити задаётся функцией y(x) . Обозначим линейную плотность нити через \lambda (кг/м), тогда масса элемента \Delta m = \lambda \Delta s .

Запишем условие равновесия по горизонтали. Горизонтальные составляющие натяжения на концах элемента должны компенсироваться, поскольку сила тяжести горизонтальной проекции не имеет: T(x) \cos \alpha(x) = T(x + \Delta x) \cos \alpha(x + \Delta x). Следовательно, горизонтальная проекция натяжения постоянна вдоль всей нити. Обозначим её T_0 : T \cos \alpha = T_0 = const.

Условие равновесия по вертикали: разность вертикальных проекций натяжения уравновешивает вес элемента: T(x + \Delta x) \sin \alpha(x + \Delta x) - T(x) \sin \alpha(x) = \lambda g \Delta s.

Выразим вертикальную проекцию через постоянную горизонтальную. Имеем: T \sin \alpha = T \cos \alpha \cdot \tan \alpha = T_0 \, y', так как \tan \alpha = y' .

Подставляя это в вертикальное уравнение и разделив на \Delta x , получаем: T_0 \frac{y'(x + \Delta x) - y'(x)}{\Delta x} = \lambda g \frac{\Delta s}{\Delta x}.

Переходя к пределу \Delta x \to 0 и учитывая, что из геометрии \frac{\Delta s}{\Delta x} \to \sqrt{1 + (y')^2}, получаем: T_0 \, y'' = \lambda g \sqrt{1 + (y')^2}.

Окончательно дифференциальное уравнение цепной линии имеет вид: \boxed{y'' = a \sqrt{1 + (y')^2}}, \qquad a = \frac{\lambda g}{T_0}.

Параметр a имеет размерность 1/м , величина 1/a задаёт характерный вертикальный масштаб кривой.