Кривые: Часть 3

Видео

Конспект

Вывод параметрических уравнений клотоиды

Выведем уравнения, задающие координаты точек клотоиды в зависимости от длины дуги s .

Пусть кривая задана в параметрическом виде x(s), y(s) , где s — натуральный параметр (длина дуги от начальной точки). Угол наклона касательной к оси абсцисс обозначим \theta(s) . Тогда производные координат по длине дуги выражаются через этот угол: \frac{dx}{ds} = \cos \theta(s), \qquad \frac{dy}{ds} = \sin \theta(s).

Кривизна кривой по определению есть производная угла наклона касательной по длине дуги: k(s) = \frac{d\theta}{ds}.

По основному свойству клотоиды k(s) = \alpha s . Следовательно, \frac{d\theta}{ds} = \alpha s.

Интегрируем это соотношение. В начальной точке ( s = 0 ) положим \theta(0) = 0 (касательная горизонтальна). Тогда: \theta(s) = \int_0^s \alpha u \, du = \frac{\alpha s^2}{2}.

Теперь подставим найденный угол \theta(s) в выражения для производных координат: \frac{dx}{ds} = \cos\left( \frac{\alpha s^2}{2} \right), \qquad

\frac{dy}{ds} = \sin\left( \frac{\alpha s^2}{2} \right).

Интегрируем по s от 0 до s , полагая x(0) = 0 , y(0) = 0 (начало координат помещено в начальную точку клотоиды): x(s) = \int_0^s \cos\left( \frac{\alpha u^2}{2} \right) du, \qquad

y(s) = \int_0^s \sin\left( \frac{\alpha u^2}{2} \right) du.

Эти интегралы не выражаются в элементарных функциях. Они называются интегралами Френеля. Для приведения к стандартной форме вводят замену переменной. Пусть t = s \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}, тогда \frac{\alpha s^2}{2} = \frac{\pi t^2}{2}, а дифференциал du = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \, dt . Подставляя в интегралы, получаем: x(t) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \int_0^t \cos\left( \frac{\pi u^2}{2} \right) du, \qquad

y(t) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \int_0^t \sin\left( \frac{\pi u^2}{2} \right) du.

Таким образом, окончательно параметрические уравнения клотоиды имеют вид: \boxed{ x(t) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \int_0^t \cos\left( \frac{\pi u^2}{2} \right) du, \qquad

y(t) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \int_0^t \sin\left( \frac{\pi u^2}{2} \right) du, } где параметр t связан с длиной дуги соотношением s = t \sqrt{\pi / \alpha} .

Поведение на больших расстояниях

При s \to \infty кривизна неограниченно возрастает. Кривая закручивается, стремясь к предельной точке, координаты которой выражаются через значения несобственных интегралов Френеля: \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} y(t) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}. В этой точке кривизна обращается в бесконечность. На практике используют лишь начальный участок клотоиды, до достижения требуемой кривизны 1/R , после чего траектория продолжается дугой окружности.

Применение клотоиды на практике

В дорожном строительстве переходная кривая в форме отрезка клотоиды встраивается между прямым участком и круговой дугой. Длина клотоиды L рассчитывается исходя из следующих критериев:

допустимой скорости нарастания центростремительного ускорения (комфорт пассажиров);

допустимой скорости поворота рулевого колеса (удобство управления);

ограничений на отвод виража (поперечного уклона дороги).

Типичная геометрия поворота выглядит следующим образом: Прямая \rightarrow Клотоида \rightarrow Дуга окружности \rightarrow Клотоида \rightarrow Прямая. На железных дорогах длина переходной кривой может достигать нескольких сотен метров для высокоскоростных магистралей. На автомобильных дорогах параметр клотоиды подбирается в зависимости от расчётной скорости и радиуса поворота.

Заключение

Замена прямого сопряжения прямой и окружности на переходную кривую в виде клотоиды устраняет скачок центростремительного ускорения при входе в поворот. Физически это означает замену ударного воздействия на плавное нарастание боковой силы. Математическим выражением этого решения служит кривая, кривизна которой линейно зависит от длины дуги, а координаты описываются интегралами Френеля.

Эпициклоида и гипоциклоида

Циклоида — кривая, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по прямой. Обобщением являются эпициклоида и гипоциклоида.

Эпициклоида — траектория точки окружности радиуса r , катящейся без скольжения по внешней стороне неподвижной окружности радиуса R .

Гипоциклоида — траектория точки окружности радиуса r , катящейся без скольжения по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса R (при r < R ).

В обоих случаях качение происходит без скольжения: дуга, пройденная точкой касания по подвижной окружности, равна дуге по неподвижной.

Вывод параметрических уравнений

Эпициклоида

2 Поместим начало координат в центр неподвижной окружности радиуса R . Пусть подвижная окружность радиуса r катится по внешней стороне. Положение её центра определяется углом t (угол поворота радиуса-вектора центра относительно оси Ox ). Координаты центра C подвижной окружности: C = \bigl( (R + r) \cos t,\; (R + r) \sin t \bigr).

Условие качения без скольжения: дуга R t , пройденная точкой касания по неподвижной окружности, равна дуге r \varphi , пройденной по подвижной ( \varphi — угол поворота подвижной окружности вокруг своего центра). Отсюда: R t = r \varphi \quad \Rightarrow \quad \varphi = \frac{R}{r} t.

Угол поворота радиуса, соединяющего центр C с фиксированной точкой на ободе (относительно направления на центр неподвижной окружности), равен t + \varphi = t + \frac{R}{r} t = \left( 1 + \frac{R}{r} \right) t . Удобно ввести параметр k = \frac{R}{r} . Тогда координаты точки на ободе: \boxed{

\begin{aligned}

x(t) &= (R + r) \cos t - r \cos\left( \frac{R + r}{r} t \right), \\

y(t) &= (R + r) \sin t - r \sin\left( \frac{R + r}{r} t \right).

\end{aligned}} Знак «минус» перед вторыми слагаемыми возникает потому, что при качении по внешней стороне вращение подвижной окружности относительно её центра происходит в том же направлении, что и движение центра, но точка обода смещается в противоположную сторону относительно направления на центр неподвижной окружности (при стандартной параметризации).

Гипоциклоида

1 Для гипоциклоиды центр подвижной окружности находится на расстоянии R - r от начала координат: C = \bigl( (R - r) \cos t,\; (R - r) \sin t \bigr).

Условие качения без скольжения здесь имеет особенность: при качении по внутренней стороне направление вращения подвижной окружности противоположно направлению движения её центра. Дуга по неподвижной окружности R t равна дуге по подвижной r \varphi , но с учётом знака: \varphi = \frac{R}{r} t. Однако вклад в угол поворота радиуса точки обода относительно центра C составляет \varphi - t = \frac{R}{r} t - t = \left( \frac{R}{r} - 1 \right) t . В координатах: \boxed{

\begin{aligned}

x(t) &= (R - r) \cos t + r \cos\left( \frac{R - r}{r} t \right), \\

y(t) &= (R - r) \sin t - r \sin\left( \frac{R - r}{r} t \right).

\end{aligned}}

Знаки выбраны так, чтобы точка обода начинала движение из положения (R, 0) при t = 0 .

Связь с колесом (циклоидой)

Предельный случай R \to \infty (неподвижная окружность становится прямой) даёт обычную циклоиду. Действительно, зафиксировав r и устремив R \to \infty , параметр k = R/r \to \infty . Длина дуги по прямой пропорциональна R t , но для сохранения конечности длины вводят замену \theta = R t / r . В пределе эпициклоида и гипоциклоида переходят в стандартные уравнения циклоиды: x = r(\theta - \sin \theta), \qquad y = r(1 - \cos \theta).

Частные случаи и свойства

Если R / r — рациональное число, кривая замкнута и имеет конечное число арок (лепестков).

Если R / r иррационально, кривая незамкнута и заполняет кольцевую область.

При R = r в эпициклоиде получается кардиоида (одна арка).

При R = 2r в гипоциклоиде получается астроида (четыре арки).

При R = 4r гипоциклоида вырождается в отрезок прямой (диаметр неподвижной окружности) — этот факт используется в механизмах для преобразования вращательного движения в прямолинейное.