Коники: Часть 1

Видео

Конспект

Коники

За этим немного комичным названием скрываются конические сечения – пересечение плоскости с прямым круговым конусом.

кон1 Есть несколько видов кривых, являющихся коническими сечениями:

В вырожденном случае точка и прямая являются коническими сечениями.

Эллипс (в особых случаях окружность)

Парабола

Гипербола

Эти кривые и называют коническими сечениями или кониками, обычно, не имея ввиду вырожденные случаи. Их классификация по типу пересечения такова:

если плоскость перпендикулярна оси конуса, тогда получаем окружность;

если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс;

если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу;

если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Все коники (кроме окружности) можно определить и другим образом, введя такое важное понятие как эксцентриситет.

Эксцентриситет

Выберем на плоскости точку F и прямую d и зададим вещественное число e \geq 0 . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F и до прямой d отличается в e раз, является коническим сечением. Точка F называется фокусом конического сечения, прямая d директрисой, число e - эксцентриситетом.

кон2 В зависимости от эксцентриситета, получится: - при e<1 - эллипс - при e=1 - парабола - при e>1 - гипербола

Для окружности полагают e=0 (хотя фактически при e=0 ГМТ является только точка F ), для прямой полагают e = \infty (такая прямая совпадает с директрисой).

Уравнения коник

Попробуем вывести уравнения конических сечений. Введём прямоугольную декартову систему координат, совместив O_z с осью конуса. Тогда, записав уравнение окружности, все точки которой имеют координату z получим:

\begin{cases}

R^2 = z^2 tg^2 \alpha \\

R^2 = y^2 + x^2

\end{cases} где \alpha это угол раствора конуса.

Уравнение конического сечения будет результатом совместного решения этой системы и уравнения плоскости, секущей конус. Так как конус симметричен относительно поворота вокруг собственной оси, можно повернуть систему координат таким образом, чтобы уравнение плоскости приобрело вид

z = \beta x + \gamma. Подставим это в решение предыдущей системы, получим:

(\beta x + \gamma)^2 \ tg^2 \alpha = x^2 + y^2, а после раскрытия скобок и приведения подобных:

2 \beta x\gamma \ tg^2 \alpha + \gamma^2 tg^2 \alpha = y^2 + x^2(1 - \beta^2 tg^2\alpha) Если \beta^2 tg^2 \alpha = 1, мы получаем линейную зависимость x от y^2 и, соответственно, параболу.

Если \beta^2 tg^2 \alpha < 1, тогда знаки перед x^2 и y^2 это плюсы. Уравнение сведётся к каноническому уравнению эллипса.

Если \beta^2 tg^2 \alpha > 1, тогда знаки перед x^2 и y^2 разные. Уравнение сведётся к каноническому уравнению гиперболы.