Коники: Часть 2

Видео

Конспект

Оптические свойства коник

Для начала рассмотрим оптическое свойство эллипса:

Свет от источника, находящегося в одном из фокусов эллипса, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекаются во втором фокусе.

Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. Пусть луч света, выпущенный из фокуса F_1 , отражается от эллипса в точке M(x_0, y_0) . Требуется проверить, что луч MF_2 является отражением луча FM_1 от эллипса. Через l обозначим касательную к эллипсу в точке M . Поскольку угол падения равен углу отражения, требуется доказать, что углы, образуемые лучами F_1M и MF_2 с касательной, равны. Обозначим первый из этих углов через \varphi , а второй — через \psi (см. рис.). Будем считать, что точка M расположена в I четверти (в остальных случаях доказательство вполне аналогично).

кон3 Найдем уравнение прямой l . Как известно, уравнение касательной к графику функции y = f(x) , проходящей через точку с координатами (x_0, y_0) , лежащую на этом графике, имеет вид y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) .

Продифференцируем по x обе части канонического уравнения эллипса (считая y функцией от x и используя при дифференцировании левой части правило дифференцирования сложной функции).

Получим

\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0, откуда

y' = -\frac{b^2x}{a^2y} Следовательно, уравнение прямой \ell имеет вид

y = y_0 - \frac{b^2x_0}{a^2y_0} \cdot (x - x_0) \quad или \quad \frac{b^2x_0}{a^2y_0} \cdot x + y = y_0 + \frac{b^2x_0^2}{a^2y_0}. Умножая обе части последнего равенства на a^2y_0 , имеем

b^2x_0x + a^2y_0y = a^2y_0^2 + b^2x_0^2. Учитывая, что точка M(x_0, y_0) принадлежит эллипсу, получаем, что

\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1. Следовательно, b^2x_0^2 + a^2y_0^2 = a^2b^2 . Объединяя сказанное, имеем

b^2x_0x + a^2y_0y = a^2b^2. Разделив обе части последнего равенства на a^2b^2 , окончательно получаем, что прямая l имеет уравнение

\frac{x_0}{a^2} + \frac{y_0}{b^2} \cdot y - 1 = 0. Найдем расстояния от фокусов до прямой l . Положим N = \sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}

Используя формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости, имеем:

d_1 = d(F_1, l) = \frac{1}{N} \cdot \left| \frac{c x_0}{a^2} - 1 \right| = \frac{1}{Na} \cdot \left| \frac{c x_0}{a} - a \right| = \frac{1}{Na} \cdot |e x_0 - a| = \frac{1}{Na} \cdot (a - e x_0) (последнее равенство вытекает из того, что 0 \leq e < 1 , 0 \leq x_0 \leq a и a > 0 , откуда e x_0 - a < 0 ). Получаем, что

d_1 = \frac{r_1}{Na} Следовательно,

\sin \varphi = \frac{d_1}{r_1} = \frac{1}{Na} Аналогично,

d_2 = d(F_2, L) = \frac{1}{N} \cdot \left| -\frac{c x_0}{a^2} - 1 \right| = \frac{1}{Na} \cdot \left| -\frac{c x_0}{a} - a \right| = \frac{1}{Na} \cdot |-e x_0 - a| = \frac{1}{Na} \cdot (e x_0 + a) (последнее равенство объясняется тем, что e \geq 0 , x_0 \geq 0 и a > 0 , откуда -e x_0 - a < 0 ). Значит d_2 = \frac{r_2}{Na} и потому \sin \psi = \frac{d_2}{r_2} = \frac{1}{Na} Таким образом, \sin \varphi = \sin \psi , т.е. \varphi = \psi , что и требовалось доказать.

Гипербола также обладает оптическим свойством:

Cвет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается противоположной ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отражённых лучей пересекаются во втором фокусе.

кон4 Переформулируем утверждение: если прямая l касается гиперболы в точке P , то l является биссектрисой угла F_1PF_2 , где F_1 и F_2 — фокусы гиперболы.

Предположим, что биссектриса l' угла F_1PF_2 пересекает гиперболу ещё в какой-нибудь точке Q (лежащей на той же дуге, что и P ).

Для удобства будем считать, что точка P лежит на дуге, которая ближе к фокусу F_1 .

Обозначим через F'_1 точку, симметричную F_1 относительно l' . Тогда F_1Q = QF'_1 , F_1P = PF'_1 ;

кроме того, точки F_2 , F'_1 и P лежат на одной прямой.

Итак, F_2P - PF_1 = F_2Q - F_1Q . В силу вышеуказанных равенств получаем F_2F'_1 = F_2P - PF'_1 = F_2Q - QF'_1 .

Но по неравенству треугольника F_2F'_1 > F_2Q - QF'_1 .

Таким образом получено противоречие, что и доказывает оптическое свойство.

Предлагаем Вам самостоятельно доказать оптическое свойство параболы:

Оптическое свойство параболы: лучи, исходящие из фокуса, после отражения от параболической поверхности идут параллельно оси симметрии. И наоборот: параллельный пучок лучей, падающий на параболическое зеркало вдоль оси симметрии, собирается в фокусе.