Разные задачи. Часть 4: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 27

Условие

Муравей из точки A без начальной скорости скользит по гладкой соломинке, у которой наклонный прямолинейный участок AB в точке B плавно переходит в дугу BC с радиусом кривизны R , а эта дуга в точке C также плавно переходит в горизонтальный прямолинейный участок CD (см. рисунок).

47 Известно, что AB : BC : CD = 1 : 2 : 3 , а суммарная длина пути много меньше R . Вычислите время скольжения муравья по соломинке от точки A до точки D .

Решение

Полное время движения муравья складывается из времени движения t_1 по участку AB , времени t_2 на участке BC и времени t_3 на участке CD . Пусть AB = l .

48 1. Восстановим из точек B и C перпендикуляры к траектории движения муравья, они являются радиусами дуги BC (см. рисунок). Пусть \angle BOC = \alpha = 2l/R . Поскольку l \ll R , то \sin \alpha \approx \alpha = 2l/R . Ускорение на прямолинейном участке AB равно a_1 = g \sin \alpha = 2gl/R .

Поскольку l = \frac{a_1 t_1^2}{2} , то t_1 = \sqrt{\frac{2l}{a_1}} = \sqrt{\frac{R}{g}}.

Скорость в конце этого участка v_B = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2gl \sin \alpha} = 2l\sqrt{g/R}.

2. Вычислим t_2 . Из закона сохранения энергии найдём скорость v_C муравья в точке C . Это будет его наибольшая скорость.

mg(h_1 + h_2) = \frac{mv_C^2}{2}, следовательно,

v_C = \sqrt{2g(h_1 + h_2)}. Найдём h_1 и h_2 . h_1 = l \sin \alpha = 2\frac{l^2}{R}, \quad h_2 = R(1 - \cos \alpha) = 2R \sin^2(\alpha/2) = 2R(\alpha/2)^2 = 2\frac{l^2}{R}.

Получаем h_1 + h_2 = 4\frac{l^2}{R} , таким образом, v_C = 2l\sqrt{\frac{2g}{R}} .

На участке BC движение муравья аналогично колебательному движению математического маятника с длиной подвеса R . Его циклическая частота \omega = \sqrt{g/R} . Время t_2 движения муравья из точки B в точку C равно времени его обратного движения из точки C в точку B , которое можно найти из уравнения гармонических колебаний:

v_B = v_C \cos\left(\sqrt{\frac{g}{R}} t_2\right), откуда

t_2 = \sqrt{\frac{R}{g}} \arccos \frac{v_B}{v_C} = \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{R}{g}}. 3. На отрезке CD муравей движется равномерно со скоростью v_C , следовательно, t_3 = \frac{3l}{v_C} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{R}{2g}} .

Полное время движения муравья

t = t_1 + t_2 + t_3 = \sqrt{\frac{R}{g}}\left(1 + \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2\sqrt{2}}\right) \approx 2.85\sqrt{\frac{R}{g}}. Задача 28

Условие

Пружину «слинки» (см. рисунок) удерживают за верхний виток так, что ее нижний виток находится на высоте h = 1 м над уровнем пола, а длина самой пружины, растянутой силой собственного веса, равна l = 1.5 м. Пружину отпускают.

image.png

Через какое время \tau она упадет на пол?

В нерастянутом состоянии витки пружины плотно прилегают друг к другу, не оказывая при этом давления друг на друга, а длина пружины составляет l_0 = 6 см. Витки тонкие. При схлопывании пружины витки между собой соударяются неупруго, и к моменту падения она успевает схлопнуться.

Ответ дать с точностью 0.02 с.

Решение

По теореме о движении центра масс время падения пружины – это время падения тела с высоты H = h + h_c , где h_c – высота центра масс относительно положения нижнего витка висящей пружины (см. рисунок).

image.png Найдем эту высоту. Пусть жесткость одного витка пружины k , его масса m , число витков в пружине N . Тогда из условия равновесия для i -го витка получаем

k\Delta x_i = (i - 1)mg. Координата i -го витка равна

x_i = \sum_{1}^{i} \Delta x_i = \frac{mgi(i - 1)}{2k}. Тогда с учетом того, что число витков N \gg 1 , получаем

l = x_N = \frac{mgN(N - 1)}{2k} \approx \frac{mgN^2}{2k}. Вычислим координату центра масс:

h_c = \frac{1}{mN} \sum_{1}^{N} m x_i = \frac{1}{mN} \sum_{1}^{N} \frac{mgi(i - 1)}{2k} = = \frac{1}{N} \left( \frac{mgN^3}{6k} + O\left(N^2\right) \right) \approx \frac{mgN^2}{6k} = \frac{l}{3}.

Время падения пружины

\tau = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2\left(h + \frac{l}{3}\right)}{g}} \approx 0.55 с. Если учесть длину пружины в сжатом состоянии, то поправка на положение центра масс не превысит l_0 , а поправка на время падения соответственно составит

\frac{\Delta \tau}{\tau} \approx \frac{1}{2}\frac{\Delta H}{H} \approx \frac{l_0}{2\left(h + \frac{l}{3}\right)} \approx 2% \Rightarrow \Delta \tau = 0.01 с.