Условие равновесия Часть 2: Условие равновесия

Задача 2

Условие

Определите, на каком расстоянии от стороны BC находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной L = 12 см каждая.

Решение

15 \begin{aligned}

x_{ц} &= \frac{m_1 g \cdot 0 + m_2 g \frac{L}{2} + m_3 g \frac{L}{3}}{m_1 g + m_2 g + m_3 g} = \frac{mg \frac{L}{2} \cdot 2}{3mg} = \frac{L}{3} = \frac{12 см}{3} = 4 см

\end{aligned} Ответ: 4см

Задача 3

Условие

Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами. Оказалось, что центр масс C такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры изготовлены из одинакового материала, но площадь сечения одного цилиндра в три раза больше площади сечения другого. Определить отношение длин цилиндров.

16 Решение

17 \begin{aligned}

\rho_1 &= \rho_2 = \rho \\

m_1 &= \rho S_1 l_1 \\

m_2 &= \rho S_2 l_2 \\

x_{ц} &= \frac{m_1 \frac{l_1}{2} + m_2 \left(l_1 + \frac{l_2}{2}\right)}{m_1 + m_2} = l_1 \\

(m_1 + m_2)l_1 &= m_1 \frac{l_1}{2} + m_2 \left(l_1 + \frac{l_2}{2}\right) \quad | \cdot 2 \\

2l_1(m_1 + m_2) &= m_1 l_1 + m_2 (2l_1 + l_2) \\

2l_1 m_1 + 2l_1 m_2 &= m_1 l_1 + 2m_2 l_1 + m_2 l_2 \\

l_1 m_1 &= m_2 l_2 \\

\frac{l_1}{l_2} &= \frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho S_2 l_2}{\rho S_1 l_1} \\

\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^2 &= \frac{S_2}{S_1} = \frac{3S_1}{S_1} = 3 \\

\frac{l_1}{l_2} &= \sqrt{3}

\end{aligned} Ответ: \sqrt{3}

Задача 4

Условие

Стержень длиной l = 1 м изготовлен наполовину из свинца, наполовину из железа. Где находится центр тяжести С этого стержня? Плотность свинца 11,2 \cdot 10^3 кг/м^3 , плотность железа 7,8 \cdot 10^3 кг/м^3 .

Решение

Решим задачу еще раз новым способом

18 Решим задачу еще раз новым способом

x–расстояние от центра тяжести стержня до его середины

19 \begin{aligned}

Nx_{ц} &= m_{св}g \frac{l}{4} + m_{ж}g \cdot \frac{3l}{4} \\

(m_{св}g + m_{ж}g) x_{ц} &= m_{св}g \frac{l}{4} + m_{ж}g \frac{3l}{4} \\

\left(\rho_{св} \frac{l}{2} S + \rho_{ж} \frac{l}{2} S\right) x_{ц} &= \rho_{св} \frac{l}{2} S \frac{l}{4} + \rho_{ж} \frac{l}{2} S \frac{3l}{4} \\

(\rho_{св} + \rho_{ж}) x_{ц} &= \rho_{св} \frac{l}{4} + \rho_{ж} \frac{3l}{4} \\

x_{ц} &= \frac{\rho_{св} \frac{1}{4} + \rho_{ж} \frac{3}{4}}{\rho_{св} + \rho_{ж}} = \frac{(\rho_{св} + 3\rho_{ж})}{4(\rho_{св} + \rho_{ж})} \\

x_{ц} &= \frac{11,2 + 3 \cdot 7,8}{4(11,2 + 7,8)} = \frac{34,6}{76} = 0,455 м

\end{aligned} Ответ: 0,455 м

Прошлый раз при решении этой задачи был найден отрезок АВ=0,045 м

При решении задачи в этот раз находили отрезок СА=0,455 м \begin{aligned}

CB &= \frac{l}{2} \\

CA + AB &= \frac{l}{2} \\

0,455 м + 0,045 м &= 0,5 м

\end{aligned}